3.4.1 牛顿-拉夫逊法简介
核心思想： 牛顿-拉夫逊法是解非线性方程的有效方法，它每一次迭代，将非线性问题化成线性问题求解，逐步逼近。
单变量非线性方程求解
对于非线性函数 （单变量，一个方程）：
设解的初值为 ，与真解的误差为 ，则有：
泰勒级数展开并线性化近似：
线性化近似（忽略高次项）：
因此得到修正量：
更新解：
迭代公式：
以 作初值，与真解的误差为 ，
重复进行：
收敛判据： 当 或 时， 为 的解
👆将上面的一大堆数学推导画在图中有很容易理解了；
多变量非线性方程组求解
有点抽象，但是可以想象一下在高维空间里做上图中的事情
对于具有 个未知变量 、 阶非线性联立代数方程组 ：
近似解：，与精确解的误差：
泰勒级数展开并忽略高次项：
矩阵形式表示：
或简写为：
其中：
- ——代求的变量 组成的列向量
- —— 误差向量，也是列向量
- 如果所有的变量都等于其真实值，那么 中的每一个元素都是零
- 因此， 中的每一项的值（如若不为零）可以用来表征代求变量当前值和真实值之间的误差
- —— 修正向量
- —— 雅可比矩阵（ 的函数），相当于一次函数的斜率
采用单变量相似方法求解：
收敛判据：
3.4.2 牛顿-拉夫逊法计算潮流
功率方程的建立
节点注入功率：
其中，节点注入电流
一、极坐标形式()
推导过程（就是为了分解实部和虚部）：
实、虚部分解：
其中
注：如果无相角参考点，有什么后果？！（平衡节点存在的原因！）
👉没有意义！平衡节点给出了相角的参考
接下来，根据功率构造误差向量：
为节点 给定注入功率， 求和项为由节点电压引起的从节点流出的功率，当各节点电压为真解（实际电压）时，两者相等。
所以，我们的牛顿-拉夫逊法迭代的变量是各点的电压；
误差函数是各点的有功功率 和无功功率
迭代过程的线性化
牛顿-拉夫逊法采用线性化逐步逼近计算潮流。设已进行了 次迭代：
将方程在第 次近似解处用泰勒级数展开（实际上就是 函数的泰勒展开，推导并不困难）
矩阵形式表示
其中：
- 为节点总数
- 为 节点个数，则有 个 节点
关键在于方程数和未知量数目相等（迭代法也需要先保证方程有唯一解）
【未知量数目】
- 个 节点：
电压的幅值、相角都未知，
共计
- 个 节点：
电压的幅值已知，相角未知
共计 个
- 共计 个未知数
【方程数目】
- 所有 个非平衡节点（包括 和 节点）都有有功功率方程 ，共计 个方程
- 个 节点有无功功率方程 ，共计 个方程
- 总方程数： 个方程
也可表示为：
接下来，只需要求出雅可比矩阵中的 即可进行迭代
【关于下标】
这里的下标标识的的节点序号，而不是矩阵元素的顺序编号。
对于 N、L、J 矩阵中不存在的元素，直接整行整列删去即可，所以这些矩阵中元素的下标是不连续的！
雅可比矩阵元素计算（☞ 以下略去上标 ）
1）非对角线元素（）的计算：
- 雅可比元素是变量，与各节点电压的幅值和相角有关。
- 对第 次迭代计算， 都是第 次迭代得到的值。每一次迭代需重新计算雅可比矩阵（元素）
- N、L 矩阵的变量之所以定义成 ：
非对角线元素满足 和 ，使得雅可比矩阵具有良好的数学对称性。
2）对角线元素（）计算：
二、直角坐标形式
PQ节点：
PV节点：
个节点的系统，除已知的平衡节点 2个变量外，共 个变量待求。
除平衡节点外，每个节点以 2个方程描述，故有 个方程。可解。
仍然是功率方程，只是表达形式不同
潮流计算的修正方程（第 次迭代）：
将 ，， 展开：
按泰勒级数展开，取一次项（线性逼近），对除平衡节点外的所有节点：
PQ节点：
PV节点：
写成矩阵的形式：
其中：
- 为节点总数
- 为 节点个数
- 矩阵阶数为 ，理由如下：
- 共有 个节点的 和 未知（除平衡节点外）
- 对于PQ节点：列出 和 方程
- 对于PV节点：列出 和 方程
- 注意：R 和 S 矩阵只有对角元素，应为电压约束方程只和这个节点本身有关
雅可比矩阵元素计算（☞ 以下略去上标 ）
1）非对角线元素（）的计算：
2）对角线元素（）的计算： ☞ 以下略去上标
修正方程的求解
算出 、、 及雅可比矩阵各元素，即求解修正方程：
根据求得的修正量，进行解的修正：
牛顿-拉夫逊法潮流计算迭代流程
完整计算步骤：
- 形成节点导纳矩阵
- 给待求节点电压赋初值 （ 一般直接赋0值）或 ，
- 用已得电压和给定的节点注入功率求功率误差 ， 及
- 用已得电压和给定的节点注入功率求雅可比矩阵的元素
- 求解修正方程，求得电压增量 ，（，）
- 用求得的 ， 修正 ， 得新解 ，
- 判别：若所有节点满足 、 或 、 转第8步；否则转第3步，再一次迭代
- 用求得的电压求PV节点的无功功率
- 用求得的电压求平衡节点的有功功率、无功功率
- 用求得的电压求各支路的电流和功率
注：PV 节点 → PQ 节点的转换
- 极坐标形式：增加一个 方程（原本只有 方程，现在变为 和 两个方程）
- 直角坐标形式：去掉 方程，增加 方程（即用无功功率约束替换电压幅值约束）
- 共同点：无功功率 固定在越限值（ 或 ），电压幅值 变为未知量
雅可比矩阵的特性
- 节点电压以极坐标形式表示时，矩阵为 阶，数量少，但存在三角函数运算
- 节点电压以直角坐标形式表示时，矩阵为 阶，数量多，但不存在三角函数运算，速度稍快一些
- 矩阵元素与节点电压有关，所以每次迭代都要重新计算
- 高度稀疏矩阵
- 因为雅可比矩阵由节点导纳矩阵计算而来；
- 节点导纳矩阵是高度稀疏的，因此雅可比矩阵也是；
- 具有结构对称性，但数值不对称
- 计算中PV节点无功越限时，PV节点要转化为PQ节点。
⊛ 高斯-塞德尔法（G-S）与牛顿-拉夫逊法（N-L）的迭代方程的区别：
基本方程： 节点电压方程
G-S潮流计算法：
N-L潮流计算法：
⊛ G-S潮流计算法、N-L潮流计算法特点及应用
1、特点
1）G-S潮流计算法
- 优点：对初值要求比较宽松
- 缺点：收敛速度慢。
2）N-L潮流计算法
- 优点：收敛速度快
- 缺点：对初值要求比较苛刻。
2、应用情况
G-S潮流计算法现在一般不单独应用，而是作为其他计算方法的前置运算。
通常而言，是先用 G-S 方法计算两轮之后得到一个相对精确的初值；再用 N-L 法或其他方法
现固学习：例3.3 (P128)
3.4.3 牛顿-拉夫逊法计算潮流的几个问题？？？
❖ 稀疏矩阵表示法
节点导纳矩阵、雅可比矩阵是一个高度稀疏的矩阵，若用二维数组存放时，0元素会占用大量内存,同时会出现对0元素进行了大量不必要的计算。因此需应用稀疏矩阵技巧。
雅可比矩阵求逆！
❖ 高斯消去法对稀疏矩阵进行前代计算时，消元后的上三角元素中的非零元素个数可能会增加。增加的非零元素称作注入元。出现注入元的可能性和数目与矩阵中原始非零元素的位置有关。
[占位符：插入高斯消去法求解稀疏矩阵的示意图，展示上三角化过程和注入元]
❖ 节点优化编号的思路
☞ Y、J非对角元素 对应于系统中节点 和节点 之间直接相连的支路。
☞ 若改变电网节点编号，对应的Y、J的行、列号将改变，非零元素在矩阵中的相对位置相应发生变化，则出现非零注入元的可能性和数目也将发生变化。
[占位符：插入节点编号优化前后的矩阵结构对比表格，展示导纳矩阵形式和消元后的上三角阵]
⊳ 准优化节点排序的方法
1. 按静态最少出线支路数排序
- ✓ 按节点所连支路数的多少排序（不含接地支路；节点间有多条并联支路时只算一条），连接支路数最少的节点排前（连接支路数相同的节点的编号顺序可颠倒）
- ✓ 非零元素尽量安排在导纳矩阵的准对角线上或靠近对角线。
特点： 导纳矩阵形成前，通过对各节点连接支路数多少的分析，可一次定出节点编号，计算工作量较小
2. 按动态最少出线支路数排序
- ✓ 先对支路数最少的一个节点编号，接着将该节点从网络中消去
- ✓ 修改未编号节点所连支路数，再回到上一步，直到全部编号
特点： 与上述方法相比，考虑了消去过程中节点支路数的变化（或导纳矩阵非0元素的变化），因而注入元数目更少。
❖ 牛顿-拉夫逊法潮流计算的收敛性
核心收敛特性：
- 平方收敛：接近真解时，每迭代一次有效数字位数约翻倍
- 迭代次数与系统规模无关：通常3-5次迭代即可收敛（但单次迭代时间与节点数成正比）
- 对初值敏感：初值选择不当可能导致发散
- 修正量需限制：强非线性区域修正量过大会导致不收敛
1. 平方收敛特性
特点： 一旦迭代解接近真解，误差减小速度极快。
图示： 功率误差 vs 迭代次数图（对数坐标）显示，前2次迭代误差下降较慢，第3次开始误差从 级迅速降至 以下，呈近乎垂直的下降。
2. 迭代次数与系统规模无关
- 优势： 无论几十节点的小系统还是上千节点的大电网，正常工况下均可在3-5次迭代内收敛
- 对比： 高斯-塞德尔法的迭代次数会随系统规模增大而增加
- 注意： 虽然迭代次数少，但大规模系统单次迭代时间长（求解雅可比矩阵方程），总体仍高效
3. 对初值敏感
问题： 初值离真解太远会导致迭代发散而非收敛。
对策：
- 平直电压启动：所有节点电压幅值取1.0标幺值，相角取0°（适用于大多数正常系统）
- 病态/重负荷系统：先用1-2次高斯-塞德尔法迭代得到较好初值，再启动牛顿法
4. 修正量幅度的限制
问题： 重负荷或初值较差时，系统非线性强，计算的修正量 可能过大，导致"跨过"真解而发散。
对策： 设置最大修正幅度限制，若计算值超限则取限制值。
⚠️ 权衡： 限制不能太小，否则破坏平方收敛特性，使收敛速度大幅减慢，丧失其核心优势。
