3.2.1离散信号的Z变换
- 复习：连续信号的拉普拉斯变换
- 复习：理想采样信号
- （复习）理想采样信号 的傅里叶变换
从理想采样信号的拉普拉斯变换到Z变换
- 序列x(n)的Z变换对应着理想采样信号的拉普拉斯变换
- 序列的Z变换当z在单位圆上取值时，对应于理想采样信号的傅里叶变换
- 如果序列 为因果序列，则双边Z变换和单边Z变换等同
序列的离散时间傅里叶变换（DTFT）
单位圆上的z变换就是序列的傅里叶变换
这里的“离散时间傅里叶变换”DTFT不要与“离散傅里叶变换”DFT混淆
下去推导，保证这张图上每一个线上的表达式都可以写出来
加深理解
从纯粹的数学上考虑，傅氏变换、拉式变换和Z变换都只是一种映射
其中：傅氏变换将信号从时域变换到频域；拉式变换把信号从时域变换到s域（也称作复频域）；Z变换把信号从离散的时域变换到z域（也是一个复数域）
这几个变换的关系可以通过下图展现：
3.2.2 Z变换的收敛域
复数项级数收敛的概念（复变）
定理：绝对收敛的数列一定收敛
定理：阿贝尔定理
Z变换的收敛域
𝑍变换的收敛域是指对于给定的序列，使其𝑍变换收敛（存在）的那些z值的集合
实际上是阿贝尔定理，除了边界位置之外都是严谨的
Z变换收敛域的计算
实际上，这就是复变函数中级数的收敛域的判断
- Z变换就是求级数哇
同一个Z域表达式，可能对应着不同的序列（因为收敛域不同）
因此，任何一个双边Z变换必须注明其收敛域，这样才能保证Z变换的映射是一一对应的
因果序列Z变换（单边Z变换）的收敛域
很容易证明并且和容易理解，因果序列的Z变换的收敛域一定是z平面上一个圆外区域
因为n>0，|z|越大肯定收敛得越快
Z变换的几何表示
X(z)可以化成多项式的形式，零点和极点可以在复平面上表示
收敛域内没有极点；收敛域的边界是以极点为边界的同心圆
3.2.3常用序列的（单边）Z变换
单位脉冲序列
单位脉冲序列可表示为:
其Z变换为：
收敛域为：整个z平面 (ROC: |z| > 0)
单位延时序列
单位延时j序列可表示为:
其Z变换为：
收敛域为：整个z平面 (ROC: |z| > 0)
单位阶跃序列
单位阶跃序列可表示为:
其Z变换为：
收敛域为：
单位指数序列
单位指数序列可以表示为:
其Z变换为：
收敛域为：|z| > |a|
推导过程：
注：这里当时，就是单位阶跃序列的情况：
这就是单位阶跃序列的Z变换
3.2.4（单边）Z变换的性质
线性性质
如果序列 和 的Z变换分别为 和 ，则有：
其中a和b为任意常数。这说明Z变换具有线性特性，即：
- Z变换对序列的线性组合等于各序列Z变换的相应线性组合
- 收敛域为各个序列Z变换收敛域的交集
右移序特性
序列右移个单位的Z变换具有以下形式（推导过程）：
将替换为：
其中第二项为补偿项，用于处理时的情况：
- 当时，的值需要单独考虑
- 补偿项反映了序列负数项的部分被移动到正数项的情况
特别地，对于因果序列，当时，此时补偿项为0，简化为：
对，有：
对，有：
其中和为补偿项，反映了序列负数项被移动到正数项的影响。对于因果序列，这些补偿项为0。
比较时移特性：
变换类型 | 时移特性 | 说明 |
拉普拉斯变换 | 因果函数，无补偿项 | |
傅里叶变换 | 因果函数，无补偿项 | |
Z变换 | 非因果序列需考虑补偿项 |
从形式上看，三种变换的时移特性都表现为原变换乘以一个指数项，体现了它们在数学形式上的相似性。不同之处在于：
- 拉氏变换和傅氏变换主要研究因果函数，信号在负时间区间为0，因此不需要考虑补偿项
- Z变换则需要考虑序列在负时间区间的值被右移到正时间区间的影响，这就是补偿项的来源
- 当处理因果序列时，Z变换的形式会简化为，与拉氏和傅氏变换形式更加接近
时域卷积定理
如果 均为因果序列，两者的卷积表达式如下：
上述卷积的单边Z变换为：
时域卷积等于z域乘积（和傅里叶变换的时域卷积定理一致）
初值定理（)
如果 为因果序列，则:
初值定理表明序列的初值可以通过其Z变换在无穷远处的极限得到
初值定理的有效性可以从Z变换的定义来理解：
当趋向于无穷大时：
- 对于项，保持不变
- 对于的所有项，都趋向于0
因此：
终值定理()
如果 为因果序列，且 在单位圆上收敛，则:
终值定理仅适用于收敛序列，对于振荡或发散序列无效
终值定理的成立可以从Z变换的定义来理解：
- 对于收敛序列，可以用表示其Z变换：
- 当序列收敛时，存在，记为x(∞)
- 考虑:
- 整理可得：
- 当时，如果序列收敛，则最终趋近于0，且：
这就证明了终值定理的成立。同时也说明了为什么对于振荡或发散序列，终值定理不成立：因为这种情况下不会收敛到0。
3.2.5 Z反变换
幂级数展开法（长除法）
实际上就是罗朗级数展开
幂级数展开法的基本思路是通过长除法将有理分式展开成幂级数形式：
具体步骤如下：
- 将Z变换表达式化为负幂形式，即分子分母都乘以适当次数的使分母的最高次幂为0次
- 进行长除运算，得到幂级数展开式
- 观察展开式中的系数，即为序列的值
优点：
- 方法直观，适合手工计算简单的Z变换表达式
- 可以直接得到序列的前几项值
缺点：
- 当Z变换表达式较复杂时，计算过程繁琐
- 难以得到序列的一般表达式
部分分式展开法
只含单极点
一般情况下，表达式为：
对于因果序列，它的z变换收敛域为。为保证在处收敛，其分母多项式的阶次不低于分子多项式的阶次，即满足。
如果只含有一阶极点，则可以展为：
即：
式中是的极点，是的留数，它等于：
含重极点的情况
如果X(z)中含有高阶极点，式(8-31)、式(8-32)应当加以修正。若X(z)除含有M个一阶极点外，在z = z₁处还含有一个s阶极点，此时X(z)应展成：
式中Am的确定方法与前相同，而Bj等于：
当s=2时，重极点在z₁处的阶数为2，此时：
这是将一般公式代入s=2得到的特殊情况。
例题
