拉普拉斯变换👈👉傅里叶变换
Z变换👈👉离散时间傅里叶变换
3.3.1周期序列的离散傅里叶级数（DFS）
把离散傅里叶级数作为一种过渡形式，由此引出离散傅里叶变换
离散傅里叶级数用于分析周期序列，而离散傅里叶变换针对有限长序列
用一个序列去逼近另外一个序列
离散傅里叶级数（DFS）是分析离散周期信号频域特性的重要工具。它将离散的周期序列分解为不同频率的正弦和余弦序列的加权和。
IDFS
从连续时间傅里叶级数开始，一个周期为的连续信号可以表示为：
其中 ，系数为：
当我们对连续信号进行采样时，采样间隔为，在一个周期内有个采样点，则：
这里也表明DFS要求整周期采样，这个条件是很苛刻的
由于离散化后，频域也变为离散的，系数计算变为求和：
将采样点代入复傅氏系数的计算表达式：
将代入，并记为，为：
将采样后的离散时间点代入傅里叶级数表达式：
由于采样使信号变为离散序列，我们记为，并代入：
DFS
离散傅里叶级数变换对为：
其中第一个式子为DFS，第二个式子为IDFS（逆离散傅里叶级数）。
这两个式子构成了离散傅里叶级数的变换对，表明了时域序列与频域系数之间的相互转换关系。
DFS,IDFS的修正
为了使离散傅里叶级数的表达式与连续傅里叶级数的形式保持一致，通常将正变换系数设为1，反变换系数设为1/N，得到修正后的DFS变换对：
这样修正后的形式更符合其他傅里叶变换的一般形式。
DFS的特点
- 周期性： DFS系数X(k)具有周期N，即X(k+N) = X(k)
- 离散性： 频域也是离散的，k取0到N-1的整数值
- 可逆性： 通过逆变换可以完全恢复原始序列
- 正交性： 基函数构成正交基
这种变换方式为后续研究离散傅里叶变换（DFT）奠定了基础。
DFS的对象是离散的周期序列
从理想采样的观点来看，这要求对原信号进行等间隔等周期采样，即信号的周期是采样周期的整数倍
这个要求是很高的，实际中做不到（）因此DFS只是理论分析的跳板
- 时域的离散的周期序列变换到频域的离散的周期序列，可以用来逼近原信号的复傅氏系数
- 序列到序列的变换，这也是一种映射关系
因为是映射，所以肯定存在反变换，而且应该是一一对应的
- 比较：周期连续信号的傅里叶级数展开与周期离散序列的傅里叶级数展开
3.3.2 序列的离散时间傅里叶变换（DTFT）
DTFT：离散信号的离散时间傅里叶变换
从z变换的角度来看，DTFT实际上是在z平面的单位圆上对z变换进行求值。
当我们将z变换表达式：
在单位圆上取值时，即令 ，就得到了DTFT：
考虑拉普拉斯变换与Z变换的关系，当时，将代入可得：
其中，为模拟信号的角频率，为数字角频率，也称作归一化角频率。因此：
这表明在单位圆上的角度实际上是采样周期与模拟角频率的乘积。
根据归一化角频率的定义，DTFT具有2π周期性：
这种周期性源于本身的周期性，意味着频谱在频域上每隔2π就会重复一次。这与连续时间傅里叶变换的非周期性形成鲜明对比。
IDTFT：离散信号离散时间的傅里叶反变换
离散时间傅里叶反变换的表达式为：
其中，为时域序列，为频域函数。IDTFT将频域的连续周期函数变换回时域的离散序列。
性质
频谱的定义和性质
频谱 是DTFT的复值函数，可以表示为：
其中 是幅度谱， 是相位谱。
对于实序列：
- 共轭对称性：
- 实部偶对称：
- 虚部奇对称：
幅度谱的性质
- 周期性： ，周期为
- 偶对称性： ，关于对称
- 非负性：
相位谱的性质
- 周期性： ，周期为
- 奇对称性： ，关于原点反对称
DTFT的频域卷积性质
连续时间傅里叶变换的频域卷积性质：
- 时域乘积的傅里叶变换等于频域卷积：
- 时域卷积的傅里叶变换等于频域乘积：
DTFT的频域卷积性质：
- 时域乘积的DTFT等于频域卷积：
- 时域卷积的DTFT等于频域乘积：
主要区别：
- 形式上基本相同，但DTFT处理的是离散序列，而连续傅里叶变换处理的是连续信号
- DTFT的频谱是2π周期的，而连续傅里叶变换的频谱是非周期的
- 在实际应用中，DTFT更适合于数字信号处理，而连续傅里叶变换更适合于模拟信号处理
门函数的DTFT表达式
对于长度为N的门函数（矩形窗）序列：
其DTFT为：
这是一个周期为2π的连续函数，在主瓣宽度为4π/N。当N增大时，主瓣变窄，旁瓣相对高度不变。
广义离散时间傅里叶变换 （GDTFT）
广义离散时间傅里叶变换（GDTFT）是DTFT的扩展，用于处理一些不满足绝对可和条件的序列。主要应用于以下类型序列：
- 不满足绝对可和条件的序列： 某些序列虽然不满足收敛条件，但在工程中仍需要分析其频谱特性
- 稳定序列： 虽然序列可能无限长，但振幅有界的序列
- 周期序列： 在时域上循环重复的序列
复指数序列
复指数序列的形式为:
其GDTFT为:
这表明复指数序列在频域上是一系列冲激函数，其位置在 ω = ω₀ + 2πk 处，k为整数。这反映了:
- 频谱具有2π的周期性
- 在每个周期内只在 ω = ω₀ 处有一个冲激
- 序列频率 ω₀ 决定了冲激的位置
周期余弦序列、周期正弦序列
周期余弦序列的形式为:
其GDTFT为:
周期正弦序列的形式为:
其GDTFT为:
这表明:
- 周期余弦序列在频域上是对称的冲激函数对
- 周期正弦序列在频域上是反对称的冲激函数对
- 两者都具有2π的周期性，在ω = ±ω₀处有冲激
GDTFT和DFS的关系，类似连续周期信号的FT与FS的关系;
复指数序列、周期余弦正弦序列的结论也和FT中的完全相同，只是加了的周期延拓
3.3.3 有限长序列的离散傅里叶变换（DFT）
主值序列和序列的主值区间
现在借助周期序列离散傅里叶级数的概念对有限长序列进行傅里叶分析。
设为有限长序列，它在到共个样点上取某些数值，其余各处皆为零：
为了引用周期序列的有关概念，假定一个周期序列，它是以为周期将有限长序列延拓而成，因此与之间的关系可表示为：
或
注意，这是一种延拓的关系，而不是直接取的主值序列！！！
图9-2表明了与的对应关系。
对于周期序列，定义它的第一个周期n = 0到N-1的范围为"主值区间"。于是，与的关系可以解释为：是的周期延拓，是的主值区间序列（简称主值序列）。
为书写简便，将使用以下符号表示：
这里，式中的是矩形脉冲序列，将它与相乘表示取之主值序列，得到。而式中的符号表示"n对N取模值"，或称"余数运算表达式"。若
则
它表明，此运算符号要求将n被N除，整数商为，余数是，此就是的解。显然，对于周期序列有
这里，是主值区间的样值，因此
主值序列的求解（必考）
有限长序列的DFT和DTFT的关系
DTFT和DFT的关系可以从两个角度来理解：
- 频域采样关系： DFT可以看作是DTFT在频域上的等间隔采样
- 时域周期延拓关系： DFT对应的是将有限长序列进行周期延拓后的DTFT
具体来说，若x(n)是N点序列，则（左边是DFT，右边是DTFT）：
这表明：
- DFT系数X(k)是DTFT在ω = 2πk/N处的采样值
- 采样间隔为Δω = 2π/N
- 在[0,2π]区间内共有N个等间隔采样点
这种关系说明：通过增加DFT的点数N，可以得到DTFT更精确的近似
DFT、IDFT的运算
基本形式
DFT:
IDFT:
引入旋转因子的定义：
则DFT可以写成：
IDFT可以写成：
其中，*表示共轭复数。
其中N为序列长度，k为频域序号，n为时域序号
DFT、IDFT矩阵形式
DFT的矩阵形式可以写作：
简记为：
IDFT的矩阵形式为：
简记为：
注意观察，这两个矩阵（DFT矩阵和IDFT矩阵）都具有对称性。矩阵中的元素可以写为：
DFT矩阵：，第n行k列的元素
IDFT矩阵：，第n行k列的元素
由于nk = kn，所以这两个矩阵都是对称矩阵。这种对称性质在实际计算中可以帮助我们减少运算量。
一种直接利用DFT计算IDFT的算法：
- 将X(k)序列共轭
- 对共轭后的序列进行DFT，得到x*(n)
- 再次对x*(n)取共轭，得到x(n)
- 最后乘以1/N得到IDFT结果
编程中比较好用，但是手算的话还是直接套反变换的公式好一些
时域序号和频域序号与实际时间、实际频率的对应
在DFT中，时域序号和频域序号与实际物理量的对应关系如下：
- 时域对应关系： 时域序号对应的实际时间，其中为采样周期（采样间隔）
- 频域对应关系： 频域序号对应的实际角频率，其中为序列长度 推导过程：
- 采样频率
- 频谱在内均匀分布个点
这是由于：DFT在频域上是对DTFT单周期的等间隔取样；而DTFT的数字角频率是由物理角频率以 为基准标幺化到得到的，也就是：
- 相邻频率点间隔为
- 因此第个频率点对应的实际角频率为
基准频率/最小分辨频率：
对应的基准角频率/最小角分辨频率为：
例题
DFT性质
线性性质
DFT的线性性质可表示为：如果
则有：
其中a和b为任意常数。这表明：
- 信号的线性组合的DFT等于各信号DFT的线性组合
- DFT是一个线性变换，满足叠加性和比例性
奇偶虚实性
注意：以下所述的奇偶性都是关于N/2对称的，即k和N-k关于N/2对称。
事实上，这和关于0偶对称是等价的。
对于实序列，其DFT 具有以下性质：
- 实部是偶函数：的实部
- 虚部是奇函数：的虚部
- 幅度谱是偶函数：
- 相位谱是奇函数：
证明过程：
由于为实序列，并且：
所以：
其中表示的共轭复数。这意味着：
这些性质在实际应用中非常重要，因为它们可以帮助我们：
1. 减少计算量（只需计算前N/2+1个点）
2. 验证计算结果的正确性
3. 进行频谱分析时更好地理解信号特性
对于实偶序列，其DFT具有以下特性：
- X(k)为实数且为偶函数：
- 没有虚部：
- 相位谱为0或π
对于实奇序列，其DFT具有以下特性：
- X(k)为纯虚数且为奇函数：
- 没有实部：
- 相位谱为±π/2
时移特性（圆周移位特性）
当序列 经过m点右移（即延迟）后，其DFT将发生相应的相位变化：
其中：
- 表示对N取模的圆周移位
- 表示相位因子
证明过程：
设 ，则：
令 ，则 ，代入上式：
由于 ，最终得到：
这表明序列的圆周移位在频域表现为相位的线性变化，幅度谱不变
频域采样理论（还没看）
也有一个类似的频域采样定理，也就是在频域内一个周期内的采样点数大于时序内序列的长度，否则会发生时域混叠现象
点数小于等于N的有限长序列可以用 精确表示
那么， 均可以用 精确表示；
用插值的方法替换DTFT和z变换的运算
3.3.4 快速傅里叶变换（FFT）
按时间抽取的基2FFT算法
原理：不断按奇偶分组，进行FFT运算
设序列长度为N的序列x(n)的DFT为X(k)，将其按奇偶分组：
将n分为偶数和奇数两组：
注意到：
代入得：
令为偶数项序列，为奇数项序列。值得说明的是，长度为N（奇数项补零），长度为N/2
重要结论：中间插零序列（FFT最关键的步骤）
基于这个结论真正实现了计算的简化
以为例。当序列中只有偶数项有值，奇数项均为0时，此时：
其中为由的非零值构成的长度为的序列。此时：
其中为的点DFT。这说明的点DFT可以通过其非零值序列的点DFT周期延拓得到
则：
一个N点的DFT已被分解为两个N/2点的DFT，但需要注意：
- G(k)和H(k)只有N/2个点，
- X(k)需要N个点，
如果要用G(k)和H(k)表达全部X(k)，应利用G(k)与H(k)的周期性：
对于加权系数有：
代入上述三个式子可得到由G(k)和H(k)决定X(k)的关系式：
其中，这两个式子分别给出的前点与后点的数值，总共有个值。
这样，长度为的DFT被分解为两个长度为的DFT（和），大大减少了计算量。这就是FFT算法的基本思想。
DIT FFT算法的规律和特点
DIT（Decimation In Time）即按时间抽取的意思，表示这种FFT算法是通过在时域上将序列按奇偶分组来实现计算简化的。与之对应的是DIF（Decimation In Frequency）算法，即按频率抽取的FFT算法。
计算量分析
注意：一次复数乘法等于4次实数乘法和2次实数加法。
假设两个复数 ：
- 需要计算：
- 实数乘法：, , , （共4次）
- 实数加法：, （共2次）
因此在分析FFT算法的性能优势时，如果考虑到复数运算的实际开销，其优势会更加明显。
让我们从DFT的定义式开始推导计算量：
- N点DFT的计算量分析：
- 对每个k值（共N个），需要计算上述求和
- 每个求和项需要：
- 一次复数乘法：计算
- 一次复数加法：将乘积累加到结果中
- 对于每个k：
- 需要N次复数乘法
- 需要(N-1)次复数加法（N个数相加需要N-1次加法）
- 总计算量：
- 复数乘法总次数：N × N = N²
- 复数加法总次数：N × (N-1) = N(N-1)
- FFT的计算量分析：
- 基2-FFT算法将N点DFT分解为log₂N级运算
- 每一级运算包含N/2个蝶形单元
- 每个蝶形单元的计算：
- 需要1次复数乘法（计算）
- 需要2次复数加法（一次加法和一次减法）
- 总计算量：
- 每级复数乘法次数：N/2
- 每级复数加法次数：N
- 总级数：log₂N
- 复数乘法总次数：(N/2)log₂N
- 复数加法总次数：Nlog₂N
通过这样的分解计算，FFT将计算复杂度从O(N²)降低到O(Nlog₂N)，大大提高了计算效率。例如当N=1024时，DFT需要进行超过100万次复数乘法，而FFT只需要约5000次。
倒位序
值得说明的是，无论数据以何种顺序输入，都不会改变FFT内部运算的逻辑！！！
对于手算者而言，只是改变了网络的形状，其它完全没有改变
同址运算（即位运算）
N点FFT所需最小存储单元数目：
- 需要存储输入序列：N个复数单元
- 需要存储旋转因子：N/2个复数单元（由于对称性和周期性，只需存储前N/2个）
- 如果采用原地运算（即位运算），不需要额外的存储空间
因此，N点FFT所需的最小存储单元数为3N/2个复数存储单元
权系数（输入倒位序、输出自然序）
两种具有即位能力的算法之间也有差异。输入倒位序加权系数的指数按自然顺序排列，便于查找，而后者不具备这一特点。当时，输入序列码位倒读顺序、输出序列自然顺序之FFT流程图排列规律如下：
（1）全部计算分解为级（也称次迭代）。
（2）输入序列按码位倒读顺序排列，输出序列按自然顺序排列。
（3）每级（每次迭代）都包含个蝶形单元，但其几何图形各不相同。自左至右第1级的个蝶形单元分布为个"群"，第2级则分为个"群"，…，第级分为个"群"，…，最末一级只有个也即一个"群"。
（4）每个蝶形单元都包含乘与的运算（简化为乘与加、减法各一次）。
（5）同一级中各个"群"的系数分布规律完全相同。
（6）各级的分布顺序自上而下按如下规律排列：
IFFT
注意，应当描述为“最终运算的结果”乘以系数1/N
3.3.5 DFT（FFT）的应用-谱分析
时间有限信号（频率无限）
待分析的信号只出现在某一确定时间之内，即它是时间受限的。这时，其傅里叶变换不可能是有限带宽的。因此，根据采样定理可知，当时间函数进行采样以后，频谱必然造成混叠。也即，无论怎样减小采样间隔Ts，混叠虽有可能减弱，但总是不可避免。
处理方法：
在进行DFT处理之前，将信号通过一个反混叠滤波器（模拟低通滤波器），将模拟低通滤波器的截止频率设置为不大于采样频率的一半。
频率有限信号（时间无限）
与前一种情况相反，若信号频谱限制于某一频率范围，则时间函数是无限的。
图9-24示意给出这种波形及其频谱的例子。为利用FFT对此信号进行分析，必须把时间函数截取一有限范围，此截断过程可理解为信号与一矩形脉冲相乘，后者称为窗函数，好像通过一个矩形窗口拍摄，只能取出如的图形。的变换可看作是与窗函数频谱之卷积，如图9-24中的，此结果表明，截断过程使频谱产生失真，它从原有的频率受限图形扩展开来，称为"泄漏"(leakage)。
也就是说，频率有限信号在时域上被截断之后，会造成频域上的频率泄露。
这个就是滤波器中用窗函数法设计FIR数字滤波器的底层逻辑
栅栏效应与频率分辨率
栅栏效应
- 离散傅里叶变换X(k)是对X(Ω)的采样，只能给出离散点上的值，无法反映采样点之间的频谱信息
- 当谱峰恰好落在两个采样点之间时，DFT将无法准确检测出峰值
频率分辨率
DFT的频率分辨率计算公式：
频率分辨率实际上就是DFT中频域上相邻点所代表的实际频率的差值
提高频率分辨率的方法：
从公式 可以看出，频率分辨率 受多个参数影响：
- 当 固定时：
- 增加观测时间 可以降低 （提高频率分辨率）
- 这同时意味着增加采样点数 ，因为
- 当 固定时：
- 降低采样频率 可以降低 （提高频率分辨率）
- 这同时意味着增加观测时间 ，因为
- 当 固定时：
- 改变采样频率 不会直接影响频率分辨率，因为
- 但会改变采样点数 和可观测的最高频率（奈奎斯特频率）
在实际应用中，提高频率分辨率的几种方法：
- 增加观测时间（固定 ）：
- 优点：不改变可分析的频率范围
- 缺点：需要更多存储空间和计算资源
- 降低采样频率（固定 ）：
- 优点：不增加计算复杂度
- 缺点：降低了可分析的最高频率（奈奎斯特频率 降低）；混叠更严重
示例分析：
信号表达式：（4Hz，4.02Hz，5Hz）
当
N = 512 时：无法区分4.02Hz与4Hz
当
N = 2048 时：可以区分4.02Hz与4Hz
补零问题
末尾补零
补零-DTFT
DTFT变换：
其中：
x(n)为离散时间序列
X(Ω)为频域函数，是周期为2π的连续函数
Ω = ωT为数字角频率
可以看到，是从负无穷求和到正无穷，但是 本身是一个有限长序列
补零对DTFT的运算结果没有任何影响
补零-DFT
时域上的有限长序列的DTFT在频域上是连续的周期函数
N点DFT在频域上是对DTFT的单周期的等间隔取样
补零-改变N-改变取样间隔和取样数-DFT更加逼近DTFT
但是，如果DTFT本身不准确（频率分辨率不足），那么DFT逼近的也是一个不准确的结果
补零只能提高显示分辨率，不能提高频率分辨率
