由时域分析转入变换域分析
周期信号，可以用傅里叶级数展开，也就是说它的频谱是离散的
非周期信号，频谱是连续的，每一个频率分量的幅值都是零；为此引入频率密度的概念，引入傅里叶变换
2.2.1 周期信号的傅里叶级数
三角函数形式的傅里叶级数
三角函数形式的傅里叶级数表达式有两种：
第一种形式：
第二种形式：
其中：
- 是傅里叶系数
- 是幅值谱
- 是相位谱
- 是基频
由傅里叶级数的三角函数形式可以给出其幅度谱和相位谱：
指数形式的傅里叶级数
从三角函数形式的傅里叶级数出发：
利用欧拉公式：
可以将三角函数用指数函数表示：
代入原式并整理，得到指数形式的傅里叶级数：
其中复傅里叶系数：
总之，复傅里叶系数 非常重要，它包含了一个信号模、幅角的全部信息
需要注意的是，负频率分量纯粹是欧拉公式运算的数学结果，它本身并没有确切的物理含义。只有将正频率和负频率分量结合起来观察，才能得到有实际物理意义的结果。这也解释了为什么在频谱分析中总是会同时出现正负频率对称的分量。
- 对于复指数信号，其频谱只有单边；而对于实信号（如正弦信号），其频谱是关于零频率对称的
- 这种对称性是保证信号具有实值的必要条件
此外，可以看出，只需要在一个周期上积分就可以算出复傅里叶系数 ，而它包含了一个信号模、幅角的全部信息
- 也就是说，周期信号的一个周期就包括了这个周期信号的全部信息
- 因此，针对无限长周期信号的傅里叶级数和针对有限长信号的傅里叶变换有着天然的联系
复傅氏系数的性质
- 复傅氏系数具有共轭对称性：
- 对于实信号，其频谱幅度具有偶对称性，相位具有奇对称性
- 复傅氏系数的模和幅度谱、相位谱的关系：
- 当为实信号时，和为偶函数，为奇函数
常用周期信号的频谱
功率信号的帕斯瓦尔公式
结合后面周期函数的傅里叶变换，这里也可以用傅里叶变换的系数去计算（）
周期信号的傅里叶级数近似
- 当信号x(t)为方波等脉冲信号时，其高频分量主要影响脉冲的跳变沿，低频分量主要影响脉冲的顶部。所以，x(t)波形变化愈激烈，所包含的高频分量愈丰富；变化愈缓慢，所包含的低频分量愈丰
2.2.2非周期信号的傅里叶变换
傅里叶变换对
这是由狄利克雷条件决定的
解决方法：引入频谱密度函数
类比概统中离散型随机变量和连续型随机变量的概念：
在连续随机变量中，每一个点上的概率都是零，但是在一个非零面积上的积分不是零；引入概率密度的概念
这个，在每一个频率上幅值都是零，因此在分母上除上单位频率，得到频谱密度函数
傅里叶变换
体现了一种映射关系：
用类似于拉普拉斯变换的更严谨的数学语言可以表述为：
傅里叶反变换
傅里叶反变换（IFT）的数学表达式为：
这个公式体现了从频域到时域的转换关系，用更严谨的数学记号可以写作：
常见的傅里叶变换结论
门信号的傅里叶变换
Sa函数的傅里叶变换
Sa函数（抽样函数）的傅里叶变换可以表示为：
这是一个矩形频谱，表明Sa函数是带限信号的典型代表。其特点是：
- 频谱在范围内为常数
- 频谱在该范围外为零
- Sa函数和矩形脉冲互为傅里叶变换对
推导过程如下：
这里用到了正弦函数的傅里叶变换和符号函数的性质。结果表明Sa函数在频域上呈现理想的低通特性，在截止频率ω₀处突变。
双边偶指数信号
双边奇指数信号
单边指数信号
单位冲激信号
- 的频谱是均匀的，称为白色频谱
单位直流信号
值得说明的是， 明显是不符合狄利克雷条件的，而冲激函数 按照严格的数学定义恰好也不是函数（只能算做广义函数）
说明这个体系在数学上是统一的，严格来讲，不符合狄利克雷条件，傅里叶变换就是不存在
符号函数信号
对于符号函数的傅里叶变换推导，可以按以下步骤进行：
这里分段计算积分时，注意到每一段的被积函数都是单边指数信号（乘上常数），可以直接套用单边指数信号的傅里叶变换公式：
只需要将a设为0，并注意积分区间的不同（负半轴上是-1倍，正半轴上是1倍），就可以得到相同的结果。这种方法可以简化计算过程。
单位阶跃信号
从定义出发：
由于单位阶跃信号的定义：
将定义代入积分：
其中第二项是由于在ω = 0处的奇异性引入，这反映了信号的直流分量。
让我们仔细分析为什么会出现冲激函数项：
当ω接近0时，积分变为：
对于ω → 0的情况：
- 余弦项： 在ω → 0时趋向于无穷大
- 正弦项： 在ω → 0时为有限值
这种在ω = 0处的奇异性正是冲激函数的特征。可以通过以下方式验证：
这与单位阶跃信号在时域的面积相等，验证了结果的正确性。因此：
其中项代表了信号的直流分量（零频率分量）。
三角脉冲的傅里叶变换
三角脉冲可以表示为：
对该函数求导，得到阶跃函数的组合：
根据微分性质：
三角脉冲的傅里叶变换是门函数傅里叶变换的乘积
2.2.3傅里叶变换的性质
线性
- 线性性质中，没有要求a是实数
- 实际上给了运算很大的自由度
- 相反，尺度变换特性就要求a一定是实数，要注意区分
例：由线性性质和符号函数的傅里叶变换推导阶跃函数的傅里叶变换。
解：阶跃函数可以表示为：
由线性性质：
代入已知结果：
其中，冲激函数项代表着直流分量为1/2
奇偶性
特别地注意，时域信号现在也是定义在复数域上的；要把数的概念扩宽
当 为实函数时，实函数的傅里叶变换具有共轭对称性
对称性
傅里叶反变换：
把t换为-t
把t换成ω，ω换成t；
纯粹的符号上的替换，在数学证明中挺常用的
把2 乘过去，得到最终的表达式
尺度变换特性（特别的，拉氏变换中没有）
a一定要是实数！这里只是进行尺度变换
- 时分复用
- 频分复用
这意味着：通信速度和占用频带宽度是一对矛盾，如果要压缩信号的持续时间，不得不以展宽频带作为代价
时移性
这一点和拉普拉斯的时移性质是一样的，亦即：
不改变幅度谱，只是在相位谱上增加了一个线性相移
例 的傅里叶变换
频移性
和拉普拉斯变换的频移性是一样的
- 若时间信号 乘上 ，等效于其频谱沿频率轴平移
- 复指数信号的傅里叶变换
- 余弦信号的傅里叶变换
- 正弦信号的傅里叶变换
例：通信系统中信号的调制
微分特性
时域微分性质
已知n阶导数的傅里叶变换，求原信号的傅里叶变换
这是由微分性质直接推导得到的结果，但是需要注意：这个结果需要加上一个修正项，完整的表达式为：（实际上就是积分公式？）
解释：为什么这两个表达式在数学上看起来不等价？
- 关注定义域的问题，第二个式子中ω在分母上，意味着定义域比之前减小了，需要进行修正
- 另外一种解释是，在时域上求导的过程中会损失直流分量的信息，因此逆推的时候需要予以修正
- 两种解释是等价的，直流分量也就意味着ω=0
傅里叶变换的频域微分性质为：
这个性质表明，时域上乘以t的n次方等价于频域上求n阶导数（差一个系数）。
这与之前的时域微分性质形成对偶。
例：求t的傅里叶变换
利用 的频域微分性质：
令 n=1，（单位阶跃函数），其傅里叶变换为：
代入频域微分性质：
这就是t的傅里叶变换。注意到它是一个广义函数，这与t不是绝对可积的性质是一致的。
积分特性
卷积定理
- 时域卷积定理
时域的卷积等于频域的乘积
- 频域卷积定理
频域卷积的1/ 是时域的乘积
利用频域卷积定理证明频移定理：
积分与零频分量的关系
证明：根据傅里叶变换的定义
当ω=0时：
这说明信号在时域上的积分等于其频谱在零频率处的值。这个性质在信号处理中经常用到，例如：
- 可以用来计算信号的直流分量
- 可以用来验证傅里叶变换的正确性
- 在系统分析中，系统的零频响应反映了系统对直流信号的响应特性
能量信号的帕斯瓦尔定理
这就是能量信号的帕斯瓦尔公式，它表明信号在时域和频域的能量是相等的。左边是时域能量，右边是频域能量。
- 能量信号的帕斯瓦尔公式表明信号的能量既可以在时域计算，也可以在频域计算
- 定义 为能量谱
- 对周期信号进行傅里叶变换后，周期冲激信号的幅值和傅里叶级数展开的幅值也有一个 的关系
2.2.4 周期信号的傅里叶变换
已经由傅里叶变换的频移性给出了这三个结论：
一般信号的的傅里叶变换可以理解为：先进行指数形式傅里叶级数展开，在对级数中的每一个 作傅里叶变换
复傅氏级数展开式为：
复傅氏系数的表达式为：
其中：
- 是信号的周期
- 是基波角频率
- 是谐波次数（n = 0, ±1, ±2, ...）
对于周期信号，取一个周期，其傅里叶变换为：
这个表达式表示单周期信号的傅里叶变换。它与复傅氏系数的关系为：
因此，周期信号的傅里叶变换可以表示为（先用复傅氏系数表示）：
代入，并注意到，可得：
周期信号的频谱是离散函数，它包含间隔为 的冲激序列，其强度的包络线形状与复傅里叶系数形状相同，大小为其 倍
