3.1.1 采样信号及其频谱
其中，Xs(t)表示采样信号；s(t)表示开关函数；x(t)表示原信号；
理想采样
理想开关函数：
理想开关函数是一系列周期的冲击函数序列
理想采样过程：
理想采样过程利用了冲击函数的筛选特性
理想采样信号的傅里叶变换
理想采样下，采样信号的傅里叶变换是原信号的傅里叶变换的周期延拓除以Ts
冲激串的傅里叶变换为另一个冲激串：
其中，为采样角频率。这说明在频域上，冲激串以为周期进行延拓。用周期信号的傅里叶变换推导很容易得到这个结论
通过上面的表达式不难发现，频域上的延拓的间隔就是
采样时产生的频率混叠
当采样频率过低时，频域上周期延拓的原信号彼此发生重叠，因此无法还原原信号的性质。
临界频率：
无论是理想采样还是实际采样，当采样频率高于临界频率时，都不会发生混叠
当采样频率无穷大，亦即 ，可以认为采样信号能够完整复现原信号。
总结：
时域上乘积，频域上卷积；
对冲击函数在频域上卷积就是平移
实际采样
- 开关函数s(t)：在实际采样中，开关函数是周期延拓的门函数（门的宽度 很小）
- 开关函数的傅里叶变换的包络线是Sa函数
- 把时域上的采样过程（原函数✖一系列周期延拓的门函数）转化到复频域上冲激函数和原信号频谱的卷积——平移延拓
- 复频域上，采样信号 的频谱 是原信号x（t）的频谱X（ω）频移加权叠加的结果，其加权系数为采样脉冲信号的傅里叶系数Sn
- 对于理想采样，所有频率的权都是1/Ts
- 对于非理想采样，这些权的包络线就是一个Sa函数
3.1.2 时域采样定理
如何采样不混叠
联系：PWM逆变器中，原信号的频率不能超过PWM开关频率的1/2；PWM逆变的过程可以理解成一个逆向采样
信号的恢复
频域分析
简单来说，用一个门信号分离频域上不混叠的信号的过程。
通过门函数后，如果得到的函数的傅里叶变换与原函数的傅里叶变换对应相等，那么它们在时域上的表达式也对应相等。
时域分析
很有趣的数学推导，可以加深对于频域、时域卷积等的理解
假设我们通过理想的开关函数得到了采样信号：
为了分离原信号，我们在频域上对原信号的频谱乘上了一个门信号，利用时域的卷积定理，对应为时域上采样信号 与门函数对应时域表达式 的卷积
不妨假设滤波器的截止频率 ：
得到从频域中恢复的信号的时域上的表达式：
结论是：
- 在时域上利用一系列Sa函数（这个Sa函数称为取样函数）的叠加去拟合原信号；
- 每个Sa函数的权由 决定
在每个x=kTs上都只有一个非零值（对于其它Sa函数，这个位置是零点），其值为 ，这决定了叠加之后的包络线仍然是原来的信号；其他位置是无穷多个Sa函数的叠加
3.1.3 常见的离散信号
序列的表示方法
- 认为是有限序列
- 认为是无限序列，其它点全部都是零
- 集合表示法
- 公式表示法
- 图形表示法
- 的移位加权表示法
单位脉冲序列可以用来表示任意序列，例如：
表示序列：在n=-1处值为2，n=0处值为3，n=2处值为1，其余位置值为0。
序列的能量
能量W定义为序列各个抽样值的平方和，亦即：
序列的分类
- 有限序列
- 右边序列（有始无终序列）
- 因果序列：特殊的右边序列（从零开始）
- 左边序列（无始有终序列）
- 反因果序列：特殊的左边序列（从零开始）
常用序列
单位脉冲序列
定义为：
这个序列在原点处值为1，其他点的值都为0。单位脉冲序列是离散系统分析中最基本的序列。
- 取样（筛选特性）
- 加权特性
类似于前述移位加权表示法
单位阶跃序列
单位阶跃序列在n≥0时取值为1，在n<0时取值为0，是一个重要的基本序列。
- 和单位脉冲序列的关系
- u（n）的移位加权表示法
- n≥0，权是1；n<0，权是0
矩形序列
矩形序列可以表示为：
矩形序列可以用单位阶跃序列表示为：
这表明矩形序列可以看作是两个错位的单位阶跃序列的差。其中，第一个单位阶跃序列在n=0处开始，第二个单位阶跃序列在n=N处开始，两者的差形成了长度为N的矩形序列。
实指数序列
其中，a为实数。当|a|>1时，序列发散；当|a|<1时，序列收敛；当a=±1时，序列为常数序列。
常见的实指数序列形式：
- 当a>0时，序列为单调函数
- 当a<0时，序列在正负值之间交替变化
正弦型序列
对于连续时间正弦信号：
经过等间隔采样（采样间隔为Ts）后，得到离散序列：
令数字角频率 ，则离散序列可表示为：
同理，正弦型序列的一般形式可以表示为：
其中，A为幅度，Ω为数字角频率（单位：rad/样点），φ为初始相位。
对周期序列的等间隔采样不一定是周期序列，推导如下：
对周期序列等间隔采样如果是周期序列，那么数字角频率需要含有 的因子
复指数序列
离散信号的时域运算
平移
翻转
和、积、累加、差分
序列的和运算：对两个序列对应项相加
序列的积运算：对两个序列对应项相乘
序列的累加运算：将序列从负无穷到n（当前索引）的所有项求和
序列的差分运算分为向前差分和向后差分：
向前差分：计算当前项与后一项的差值
向后差分：计算当前项与前一项的差值
差分运算也可以进行多次，称为高阶差分：
序列的抽取和插值
序列抽取：从原序列中按照某个固定间隔取样，得到新的序列。若抽取间隔为M，则新序列y(n)与原序列x(n)的关系为：
这表示每隔M个点取一个样本值。
序列插值：在原序列的样本之间插入新的样本点，形成新的序列。最简单的插值方法是零值插值，即在原序列的相邻样本之间插入L-1个零值。
其中L为插值因子，表示在每两个相邻样本之间插入L-1个零值。
卷积和
- 步骤：换坐标、翻转、平移、相乘、累加
- 卷积和的几个属性：
- 序列卷积和的求解方法：
- 定义法（解析法）
- 序列移位加权法求解
- 利用分配律，转化成一系列冲激信号的卷积
第一个数6对应的肯定时n=0
