2.1.1连续信号的时域描述
正弦信号
实指数信号
复指数信号
在复平面上观察， 决定向量的模长（也就是右图中的包络线）
而 决定了向量的旋转
取样信号
- 偶函数
- x=0时有最大值 ，以后逐渐收敛到0
- 当 为零点
- 是能量函数，能量主要在中心主瓣上
奇异信号
具有不连续点或不可导点的信号，实际中不存在（）
- 单位斜坡信号
- 斜坡信号的一阶导数不连续
- 单位阶跃信号
单位阶跃信号（又称为亥维赛德函数）的表达式为：
这是一个在t=0处突变的信号，其导数是冲激函数。
- 矩形脉冲信号
矩形脉冲信号可以由单位阶跃信号线性组合得到
也称作门函数，门的宽度就是
对于矩形脉冲信号，其表达式可以写成：
这是因为：
- 在 时，两个阶跃函数都为0，相减后为0
- 在 时，第一项为1，第二项为0，相减后为1
- 在 时，两个阶跃函数都为1，相减后为0
- 冲激信号
当 时， 就是冲激信号，并且保持了其面积为1特性；
性质1：冲激信号具有筛选性质
性质2：冲激信号是偶函数
利用了广义函数的性质（冲激信号是广义函数）， 称为检验函数
性质3：冲激信号和阶跃信号的关系
注意：是阶跃信号对时间求导得到冲激信号，反过来冲激信号对时间积分得到阶跃信号。
这也说明了阶跃信号和冲激信号之间的微积分关系：
- 冲激信号是阶跃信号的导数
- 阶跃信号是冲激信号的积分
性质4：
从门函数出发的证明过程：
- 首先考虑门函数 ，当 时有跃变
- 经过变量替换 ，得到
- 当 时，门函数的高度为 ，面积保持为1
- 则有：
这样就从门函数的角度证明了性质4
性质5：冲激函数与任意函数的卷积等于该函数的平移
证明过程如下：
利用了冲激函数的筛选性质。这说明与移位的冲激函数进行卷积运算，相当于对原函数进行相同的移位。
- 冲激偶
- 冲激偶是奇函数（先对门函数求导，得到两个冲激函数；再令 ）
- 从数学的角度，冲激函数是偶函数，那么它的导数一定是奇函数
- 冲激偶的筛选特性
证明过程如下：
首先从定义出发：
利用分部积分法：
令 ，，则：
第一项由于 在无穷远处为0而消失。第二项根据冲激函数的筛选性质：
因此：
证毕。
- 冲激偶的卷积特性
对于冲激偶的卷积运算，可以得到：
证明过程：
利用卷积定义和冲激偶的筛选特性：
用到了冲击偶是奇函数的性质
2.1.2 时域计算
尺度变换
- 在尺度变换的过程中，没有损失波形的任何信息
- 压缩，那么单位时间内有更多信号传递出去
翻转
- 与尺度变换满足交换律
平移
- 周期信号可以是单周期信号的周期延拓
- 单周期信号的周期延拓能够得到周期信号
两个变种：
含有 ；逆推？
叠加与相乘，微分与积分
卷积积分
卷积函数的性质
- 交换律
- 分配律
- 结合律
- 与冲激函数的卷积
- 任意一个函数和冲激信号的卷积是它本身
- 任意一个函数和移位的冲激信号的卷积相当于对它本身进行平移
- 任何一个函数和周期冲激簇的卷积相当于周期延拓
- 卷积积分结果所占有的时宽等于参与积分运算的两个函数各自的时宽之和
- 卷积积分的微分性质：
矢量的正交与分解
本质上是线代中线性空间的概念
此称为此函数集在区间内的正交函数集；
如果是一个完备的正交函数集，可以构成线性空间的一组正交基；
用这组基就可以表达出所有函数（信号）
帕斯瓦尔方程
能量可以叠加，那么功率也可以叠加
