2.5 边值问题
范定方程——电位函数满足的偏微分方程
代入电位移与电场强度的关系 ：
对于均匀介质，ε为常数；再代入电场与电位的关系 ：
最终得到泛定方程（泊松方程）：
特别地，当空间电荷密度ρ = 0时，方程简化为拉普拉斯方程：
让我们来理解为什么对梯度取散度会得到拉普拉斯算子：
- 首先回顾定义：
- 梯度：
- 散度：
- 当我们对梯度取散度时：
- 这就是拉普拉斯算子的定义，它表示一个标量场在各个方向上的二阶偏导数之和。
因此，对梯度取散度实际上就是在计算函数在各个方向上的二阶导数之和，这个结果就是拉普拉斯算子。
定解条件——边界条件
边值问题的求解
边值问题=泛定方程+定解条件
边值问题的解析求解方法
直接积分法
- 单种媒质的边值问题
还要复习一下简单的二阶常微分方程；当然题目不会考得很难
- 多种媒质的边值问题
有介质分界面的问题，注意需要用到之前法向电位移矢量 连续的条件
分离变量法（不要求）
当待求位函数是两个或大于两个坐标变量的函数时，分离变量法是直接求
解偏微分方程定解问题的一种经典方法。
但是，这种方法计算过于复杂，考试不做要求
唯一性定理
给定源和边界条件的泊松方程（拉普拉斯方程）的解是唯一的
叠加定理
把一个方程线性地拆解成几个方程，仍然满足唯一性定理
这在解决后面的复杂的等效问题的时候是很有效的！这允许我们把一个复杂的问题划归为若干个简单的子问题
