相似矩阵的定义
设A、B是n阶方阵，如果存在可逆矩阵P，使得：
则称矩阵A与B相似，记作：
相似矩阵的性质
- 相似关系是一种等价关系，具有：
- 反身性：A ~ A
- 对称性：若A ~ B，则B ~ A
- 传递性：若A ~ B，B ~ C，则A ~ C
相似矩阵的重要性质
- 特征值相同
- 特征多项式相同
- 行列式相同：
- 迹相同：
- 秩相同：
相似对角化
如果n阶方阵A与对角矩阵相似，则称A可相似对角化。即存在可逆矩阵P，使得：
可相似对角化的充要条件
- A有n个线性无关的特征向量
- 每个特征值的代数重数等于其几何重数
相似对角化的步骤
- 求特征值：解特征方程
- 求特征向量：解方程组
- 判断特征向量是否线性无关
- 构造可逆矩阵P：用特征向量作为列向量
- 得到对角矩阵
应用示例
例如，对于矩阵：
其特征值为：
对应特征向量为：
注意事项
- 不是所有矩阵都可以相似对角化
- 相似矩阵必须是同阶方阵
- Jordan标准型可以处理不能相似对角化的情况
实际应用
相似矩阵在以下领域有重要应用：
- 线性变换的研究
- 矩阵幂的计算
- 微分方程的求解
- 主成分分析
