6.4.1 追赶法
三角法在对角占优阵中的应用
从三角分解法的角度来看，追赶法实际上是一种特殊的LU分解。对于三对角矩阵，我们可以将其分解为一个特殊的下三角矩阵L和上三角矩阵U的乘积，这种分解具有独特的稀疏结构。
三对角方程组的特点
三对角方程组的系数矩阵A为三对角矩阵，形式如下：
方程组可以写为：
将三对角矩阵A分解为LU的形式：
通过比较系数可得：
可以看出：
- L矩阵是一个单位下三角矩阵，只在次对角线上有非零元素
- U矩阵是一个上三角矩阵，只在主对角线和上对角线上有非零元素
- 这种特殊的分解形式大大减少了计算量和存储空间
追赶法中的α实际上就是U的主对角线元素，这种LU分解的形式帮助我们理解追赶法的本质。
追赶法的计算步骤
追赶法分为两个步骤：
1. 追的过程（前代换）
计算系数：
计算常数项：
在实际计算中，将A写成增广矩阵 的形式，最后一列就是上面算的“常数项”
2. 赶的过程（回代）
实际上，"赶"的过程就是求解上三角方程组Ux=β。注意， 就是原来的A中的 ； 前面已经通过迭代（追）解出。
当我们拿到β向量后，由于U是上三角矩阵，我们可以从最后一个方程开始，依次向上求解每个未知数。
这种回代过程之所以称为"赶"，是因为我们是从下往上逐个消除未知数，就像把未知数一个个"赶"出方程一样。
从后向前依次求解：
算法特点
- 计算量小：运算次数为O(n)
- 存储空间少：只需要存储三条对角线上的元素
- 适用于大型三对角方程组的求解
算法流程图
收敛条件
追赶法的收敛条件要求系数矩阵满足：
- 系数矩阵为严格对角占优矩阵
- 所有主对角元素不为零（也就是严格占优，不能取等号）
6.4.2 改进平方根法
三角法在对称正定阵中的应用
1. 基本概念
改进平方根法是一种用于求解对称正定线性方程组的高效算法。它是平方根法的改进版本，通过利用矩阵的对称性质来减少计算量。
2. 适用条件
- 系数矩阵A必须是对称矩阵
- 所有顺序主子式均大于零（正定性质）
- 方程组形式为 Ax = b
3. 矩阵分解
对于满足条件的矩阵A，可以将其分解为：
其中：
- L是单位下三角矩阵（主对角线上元素均为1）
- U是上三角矩阵
分解的具体形式为：
例3.6 用改进的Cholesky分解法解方程组：
解题步骤：
第1步：矩阵构造
第2步：计算
得到等价的三角形方程组(LUx=y)为：
回代求解，得：
