intro：高斯消去法的矩阵解释
高斯消元法是求解线性方程组的一种重要方法。通过观察高斯消元的过程，我们可以发现一个重要特点：矩阵A经过一系列初等行变换后变成上三角矩阵U。
实际上，任何非奇异矩阵A都可以分解成一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积：
这种分解方法就是三角分解法（也称LU分解）。
- 高斯消元过程中的每一步消元运算，实际上都对应着将矩阵A与倍加矩阵的乘积
对于n阶矩阵，第i行加上第j行的k倍的倍加矩阵的一般形式为：
其中第i行第j列的元素为k，其余非对角线元素为0，对角线元素为1。
- 这些初等矩阵的逆矩阵的乘积就构成了下三角矩阵L
- 最终得到的上三角矩阵就是U
LU的求解
下面给出如下通用表达式：
对于U的上三角部分（1 ≤ i ≤ j ≤ n）：
对于L的下三角部分（1 ≤ j < i ≤ n）：
对于L的对角线元素（i = 1,2,...,n）：
这个通式很抽象、、也很难用语言表述计算过程，动手算一遍就知道了
通用表达式说明
计算顺序：
- 计算第一行的所有u1j（j = 1,2,...,n）
- 计算第一列的所有li1（i = 2,3,...,n）
- 按照行列顺序依次计算剩余元素
注意：这个推导过程假设了所有主元不为零（即uii ≠ 0，i = 1,2,...,n）。在实际计算中，如果遇到主元为零，需要进行适当的行交换。
LU变换完成之后，y就直接算出来了
给定方程组Ax=b，其中：
使用公式进行计算：
第一步计算结果：
其中：
继续矩阵计算的第二步和第三步：
第二步计算结果：
第三步计算结果：
利用LU求解方程
将方程Ax=b改写为LUx=b后，可以分两步求解：
- 先解Ly=b（y是中间变量）
- 再解Ux=y
具体过程如下：
第一步：解Ly=b
由于L是下三角矩阵，可以使用前代法求解：
第二步：解Ux=y
由于U是上三角矩阵，可以使用回代法求解：
这种方法的优点是：
- 一旦得到矩阵A的LU分解，对于同一个系数矩阵A和不同的b，只需要进行前代和回代运算，无需重复分解过程（因为LU都是上/下三角矩阵，可以直接求解，不需做任何变换）
- 计算过程简单，不需要进行复杂的矩阵运算
- 计算量比直接求逆矩阵要小得多
列主元三角分解法
在三角分解法中，与高斯消元法类似，在计算也可能遇到主元u₍ₖₖ₎为零的情况。这会导致：
- 无法继续进行分解（因为在计算l₍ᵢⱼ₎时需要除以u₍ⱼⱼ₎）
- 数值上非常小的主元也会导致计算结果的精度下降
三角分解法的列主元不如高斯消元法直观。
高斯法中，我们直接找到每行绝对值最大的第一个元素即可；
但是在三角分解法里，我们需要找到：剩下的行以何种顺序排列代入公式计算出的最大
引入一个新的量，实际上就是第二个公式的分子部分，也可以理解为第一个公式 的取值：
显然有：
把所有情况下计算得到的可能的全部罗列出来，找到绝对值最大的
