定义6.1向量范数的定义
设向量 x 是 n 维向量空间中的向量，向量范数是一个函数，它将向量映射到非负实数，且满足以下性质：
- 非负性：
当且仅当 x = 0 时取等号
- 齐次性：对任意标量 α，有：
- 三角不等式：对任意向量 x, y，有：
常用的向量范数
- 1-范数（曼哈顿范数）：
- 各分量绝对值的和
- 2-范数（欧几里得范数）：
- 实际上是到原点的距离，或者说模长
- ∞-范数（切比雪夫范数）：
- 各分量绝对值的最大值
- p-范数：
- 是2-范数（欧几里得范数的一般情况）
只需要记住p-范数的表达式！其它范数都是p取不同值的特殊情况（包括无穷范数）
定义6.2 向量收敛的定义
设{xᵏ}是n维向量空间中的向量序列，如果存在向量x，使得：
则称向量序列{xᵏ}收敛于向量x，记作：
其中，‖·‖可以是任意向量范数。由于向量范数的等价性，如果序列在某个范数下收敛，则在任意范数下都收敛。
- 分量收敛：向量序列收敛等价于各分量都收敛
定义6.3 矩阵范数的定义
设A是m×n矩阵，矩阵范数是一个函数，它将矩阵映射到非负实数，且满足以下性质：
- 非负性：
当且仅当A为零矩阵时取等号
- 齐次性：对任意标量α，有：
- 三角不等式：对任意矩阵A, B（维度相同），有：
- 相容性：对可乘的矩阵A, B，有：
常用的矩阵范数
没发现啥规律……只能死记？
- 1-范数（列范数）：
- 所有列向量的1-范数的最大值
- ∞-范数（行范数）：
- 所有行向量的1-范数的最大值
- F-范数（Frobenius范数）：
- 还是模长
- 2-范数（谱范数）：
- 的最大特征值的平方根
