特征值的定义
设A是n阶方阵，如果存在数λ和非零向量x，使得：
则称λ是矩阵A的特征值，x是对应于特征值λ的特征向量。
特征值的求解步骤
- 构造特征方程：
其中I为n阶单位矩阵，|A - λI|表示行列式
- 求解特征方程：
- 展开行列式得到关于λ的n次方程
- 求解这个方程得到特征值λ₁, λ₂, ..., λₙ
- 求特征向量：
- 将每个特征值代入方程(A - λI)x = 0
- 解齐次线性方程组得到对应的特征向量
示例
对于2×2矩阵：
特征方程为：
即：
特征值的性质
- n阶方阵有n个特征值（重根按重数计算）
- 特征值之和等于矩阵的迹（主对角线元素之和）：
- 特征值之积等于矩阵的行列式值：
- 相似矩阵具有相同的特征值
复特征值的处理
当特征方程的解包含复数时，我们称这些解为复特征值。复特征值总是成对出现，即如果α + βi是特征值，那么α - βi也一定是特征值。
求解复特征值的步骤
- 将复数形式的特征值代入(A - λI)x = 0
- 求解复系数方程组得到复特征向量
- 可以将复特征向量分解为实部和虚部：x = u + vi
例如，若矩阵：
其特征值为：
这种情况下特征向量也会是复数形式。这在物理学和工程学中经常出现，特别是在描述振动系统时。
