一、实验目的
- 理解并验证时域采样定理
- 掌握模拟低通滤波器的设计方法
- 了解采样信号重建的原理和过程
- 熟悉滤波器参数对信号重建效果的影响
二、实验仪器与设备
- PC一台
- Anolog Discovery 便携式实验套件一套
- 导线若干
三、实验原理
3.1 采样定理
采样定理（奈奎斯特定理）指出：当采样频率大于信号最高频率的2倍时，可以从采样信号中无失真地恢复出原始信号。
从频域角度来解释采样定理：当对一个连续时间信号进行采样时，在频域上会产生以下效应：
- 原始信号的频谱会以采样频率fs为周期进行重复延拓
- 每个延拓的频谱副本之间的间隔就是采样频率fs
- 当采样频率fs大于信号最高频率分量的2倍时（即fs > 2fmax），各个频谱副本之间不会发生重叠
- 这种无重叠的特性使得我们可以通过理想低通滤波器（截止频率在fmax附近）准确地恢复出原始信号
在本实验中，由于采样频率(10kHz)远大于信号频率(500Hz)的2倍，频谱副本之间有足够的间隔，因此可以实现信号的无失真重建。
3.2 模拟低通滤波器原理
二阶无源RC低通滤波器是一种简单但实用的滤波电路，由两个RC串联电路级联组成。其主要特点是：
- 每级RC电路由一个电阻R和一个电容C串联构成
- 相比一阶RC低通滤波器，具有更陡峭的截止特性
- 无需外部电源供电，结构简单可靠
对于二阶RC低通滤波器，其传递函数H(ω)可以表示为：
其幅频特性为：
相频特性为：
其中：
- ω为角频率（rad/s）
- R为电阻值（Ω）
- C为电容值（F）
实验中，我们取R1=R2,C1=C2
对于二阶RC低通滤波器，其截止频率fc可以表示为：
其中：
- fc为截止频率（Hz）
- R为电阻值（Ω）
- C为电容值（F）
四、实验步骤
4.1 正弦波信号实验
- 设置信号发生器产生500Hz正弦波信号，幅值1V
- 设置10kHz方波采样信号，幅值1V
- 将两信号相乘获得采样信号
- 设计并调试模拟低通滤波器
- 观察并记录不同截止频率下的滤波效果
4.2 三角波信号实验
- 将输入信号改为500Hz三角波，幅值1V
- 重复上述步骤
- 调整滤波器参数以获得最佳重建效果
五、拟解决的关键问题
在三角波信号的采样与重建过程中，我们需要特别关注以下关键问题：
5.1 三角波的傅里叶级数展开
三角波的傅里叶级数展开可以表示为：
从这个展开式以及三角波的FFT图中可以看出：
- 三角波由无限多个奇次谐波分量组成
- 各谐波分量的幅值随着次数n的增加按1/n²的规律衰减
- 相邻谐波的相位差为π
5.2 滤波器设计困难
三角波信号重建面临以下困难：
- 信号包含理论上无限多个谐波分量，这些谐波对保持波形的尖锐特征至关重要
- 如果截止频率设置过低，会过度衰减高次谐波，导致波形变得圆滑
- 如果截止频率设置过高，可能引入采样过程产生的高频干扰
因此，在设计滤波器时需要在信号保真度和抗干扰能力之间找到最佳平衡点。
六、实验结果与记录
6.1正弦波采样与滤波
6.1.1 正弦波及开关函数
6.1.2 正弦波及其采样信号
6.1.3 不同截止频率下对采样信号滤波结果
- fc=3.1kHz
- fc=1.5kHz
- fc=800Hz
6.2 三角波的采样及恢复
6.2.1 三角波及开关函数
6.2.2 三角波及其采样信号
6.2.3 不同截止频率下对采样信号滤波的结果
- fc=4.8kHz
对于fc=4.8kHz的截止频率，根据三角波的傅里叶级数展开，可以保留以下奇次谐波分量：
- 基波：500Hz（n=1）
- 三次谐波：1500Hz（n=3）
- 五次谐波：2500Hz（n=5）
- 七次谐波：3500Hz（n=7）
- 九次谐波：4500Hz（n=9）
从FFT图中可以看到，上述这些奇次谐波都得以保留，但是高频段出现了大量高频信号泄露，这些高频分量显然是来自我们的采样信号
- fc=3.1kHz
对于fc=3.1kHz的截止频率，根据三角波的傅里叶级数展开，可以保留以下奇次谐波分量：
- 基波：500Hz（n=1）
- 三次谐波：1500Hz（n=3）
- 五次谐波：2500Hz（n=5）
- fc=1.5kHz
对于fc=1.5kHz的截止频率，根据三角波的傅里叶级数展开，可以保留以下奇次谐波分量：
- 基波：500Hz（n=1）
- 三次谐波：1500Hz（n=3）
由FFT图可以看到，三角波只有基波和三次谐波得以保留；五次谐波可以被观察到，但是其幅度被大大削弱。另一方面，高频谐波被大大抑制，只能在10kHz处观察到一个来自开关函数的谱峰
- fc=800Hz
对于fc=800Hz的截止频率，根据三角波的傅里叶级数展开，可以保留以下奇次谐波分量：
- 基波：500Hz（n=1）
这也是为什么此时波形几乎完全退化成正弦波
七、实验结果分析与展望
7.1 实验结果分析
7.1.1 正弦波信号重建分析
通过观察不同截止频率下的滤波结果，可以得出以下结论：
- 当fc=3.1kHz时，重建信号与原始信号基本吻合，但存在明显的高频干扰
- 当fc=1.5kHz时，获得了较好的滤波效果，信号失真较小，存在少量的高频干扰
- 当fc=800Hz时，取得了良好的滤波效果，难以观察到显著的高频分量
实验结果表明，对于正弦波信号重建，fc=800Hz的截止频率效果最佳，既能有效抑制高频干扰，又能准确保持信号特征。
7.1.2 三角波信号重建分析
三角波信号的重建效果表现出以下特点：
- 高截止频率（fc=3.1kHz）下能够较好地保持波形的尖锐特征，但存在明显的高频干扰
- 中等截止频率（fc=1.5kHz）时在信号保真度差
- 低截止频率（fc=800Hz）波形出现明显的圆化现象，几乎退化成正弦波
7.2 实验中存在的问题及展望
本次实验仍存在以下需要改进的问题：
7.2.1 开关函数的初始电平问题
当前实验中使用的开关函数不是从0V开始，这导致了以下问题：
- 采样初始阶段出现突变，引入了额外的高频分量
- 影响了信号重建的精确度，特别是在波形过渡区域
7.2.2 三角波重建的优化问题
在三角波信号重建过程中，仍需解决以下关键问题：
- 如何在保持波形尖锐特征和抑制高频干扰之间找到最优平衡点
- 研究不同谐波次数对重建波形质量的影响，确定最小必要谐波数量
- 探索可变截止频率滤波器的可能性，以适应不同频率成分的重建需求
这些问题的解决将有助于提高实验的准确性和实用价值，为后续研究提供重要参考。
