2.9 静电场能量、电场力

2.9.1 带电体系统中的静电场能量

考虑带电体系统中电荷的逐个引入过程：

推广到引入第i个电荷时，需要克服前i-1个电荷产生的电场力做功：

系统的总静电场能量为将所有电荷带入时做功的总和：

考虑到两个电荷间的相互作用是对称的，即：

因此最终可以将系统的静电场能量表示为：

由于表面电荷分布是连续的，我们需要将离散的求和转化为积分形式。

设带电体表面的面电荷密度为σ，则电荷元dq = σdS，其中dS为表面积元。系统的静电场能量可表示为：

由于导体表面是等势体，电位φ在导体表面处处相等，因此可以将φ提到积分号外：

注意到积分号内σdS的积分实际上就是导体的总电荷Q：

因此带电导体的静电场能量可以简化为：

这个简单的表达式在实际应用中非常有用，因为我们只需要知道导体的总电荷和电位就可以计算其静电场能量。

对于体分布的电荷，电荷分布在带电体的体积内部。设带电体内部的体电荷密度为ρ，则电荷元为dq = ρdV，其中dV为体积元。

静电场能量也可以用场强E和电位移矢量D来表示。在空间中任一点，电场强度E和电位移矢量D之间存在关系：

考虑空间中的体积元dV，其中的静电场能量可以表示为：

因此，整个空间的静电场能量可以通过对所有体积元的积分得到：

将上式中积分号内的量称为电场能量密度w：

电场能量密度w表示单位体积中所储存的静电场能量。它与电场强度E的平方成正比，这说明电场越强，单位体积中储存的能量就越多。

因此静电场能量可以表示为能量密度在整个空间的积分：

考虑真空中体电荷密度为ρ的带电球，使用两种方法求解其静电场能量

根据之前推导的公式：

对于均匀带电球，我们知道：

其中R为球半径，Q为总电荷。由于ρ为常数，且：

将电位表达式代入能量公式：

根据能量密度公式：

对于均匀带电球，球内电场强度为：

代入积分：

化简后得到：

两种方法得到相同的结果，验证了计算的正确性。