本质就是列写独立的KCL、独立的KVL
A阵是通过节点表示支路，因此行代表独立节点（除了参考节点之外），列代表支路
B阵是通过回路表示支路，因此行代表独立回路（单连支回路），列代表支路
A阵B阵的秩（线性无关方程数）一定是相同的。
节点、支路、独立回路
对于一个有n个节点、b条支路的电路，独立回路（单连支回路）的数量为：
其中：
- b - (n-1) 是连支的数量
- 每增加一条连支，就会产生一个新的独立回路
- 树支的数量为 n-1（连通图的最小支路数）
3.2.1 节点支路关联矩阵A
全节点支路关联矩阵[ ]
全节点关联矩阵Aa是描述图的有向拓扑图的矩阵。对于一个含有n个节点和b条支路的网络图，Aa的维数为n×b。矩阵中的元素aij定义如下：
当支路j与节点i有关联时：
• = -1，如果支路j的参考方向指向节点i
• = 1，如果支路j的参考方向远离节点i
• = 0，如果支路j与节点i无关联
关联矩阵Aa的行对应网络中的节点，列对应网络中的支路。具体来说：
- 行（Row）：每一行代表网络中的一个节点，共n行
- 列（Column）：每一列代表网络中的一条支路，共b列
因此，矩阵中的每个元素aij表示了节点i与支路j之间的关系。
关联矩阵具有以下重要性质：
- 每一列只有两个非零元素：1/-1，表示每条支路只连接两个节点
- 所有行之和为零向量（因为每一列只有±1两个非零元素）
- 各行线性不独立，n×b矩阵的秩为n-1
- 对应于电路中，n个节点的节点电压法需要选取一个参考地，只需要列n-1个方程
(降阶的)节点关联矩阵[A]
- 任意删除一行后的子矩阵称为降阶的关联矩阵，记为A
- 删去的那一行实际上就是我们列节点电压方程中所选定的参考点
没有特殊说明，关联矩阵就是指降阶的关联矩阵
- 关联矩阵与有向拓扑图是一一对应的关系
3.2.2 回路支路关联矩阵B
全回路支路关联矩阵[]
回路矩阵是描述网络图中独立回路的矩阵。对于一个含有b条支路和l个回路的网络图，全回路支路关联矩阵的维数为。矩阵中的元素定义如下：
当支路j属于回路i时：
• = 1，如果支路j的参考方向与回路i的方向一致
• = -1，如果支路j的参考方向与回路i的方向相反
• = 0，如果支路j不属于回路i
显然，各行线性不独立，有许多冗余项；
基本回路支路关联矩阵[]（简称回路矩阵）
基本回路矩阵是回路矩阵的一种特殊形式，是单连支回路时所建立的回路矩阵
- 如果列写基本回路矩阵时，支路编号按先连支后树支的次序，则在基本回路矩阵中必然包含一个单位子矩阵
- 由于单连支回路的缘故，第一条连支只包含在第一个回路中，所以第一列中只有第一行元素为1，其余全为0
- 由此不难理解单位阵的成因
- 行号等于单连支回路号，列号等于支路号
3.2.3 割集矩阵Q（不考）
割集矩阵Q是描述网络割集特性的矩阵。对于一个含有n个节点和b条支路的网络图，割集矩阵Q的维数为(n-1)×b。矩阵中的元素qij定义如下：
当支路j属于割集i时：
• qij = 1，如果支路j的参考方向与割集i的方向一致
• qij = -1，如果支路j的参考方向与割集i的方向相反
• qij = 0，如果支路j不属于割集i
割集矩阵Q的行对应网络中的独立割集，列对应网络中的支路。具体来说：
- 行（Row）：每一行代表网络中的一个独立割集，共(n-1)行
- 列（Column）：每一列代表网络中的一条支路，共b列
因此，矩阵中的每个元素qij表示了割集i与支路j之间的关系。
基尔霍夫电流定律(KCL)的矩阵形式可以用割集矩阵Q来表示：
其中：
• Q为割集矩阵
• i为支路电流列向量
• 0为零向量
这代表着每个割集的电流之和为零
广义节点的基尔霍夫电流定律的矩阵形式
基本割集矩阵
基本割集矩阵是割集矩阵的一种特殊形式，它与基本回路矩阵有着对偶的关系。其结构为：
- 结构特点：矩阵可以分为两部分 []，其中U为单位矩阵，是连支矩阵
- 维数：基本割集矩阵的维数为(n-1)×b（n-1个独立割集，b条支路）
- 作用：简化网络分析，使节点方程的求解更加方便
例如，对于含有5条支路和4个节点的网络，其基本割集矩阵可能的形式为：
基本割集矩阵具有以下重要性质：
- 每个基本割集必包含一个树支（在单位矩阵部分表示为1）
- 每个基本割集可能包含若干连支（在部分表示为非零值）
- 其他树支不属于该割集（矩阵中表示为0）
例题
基本割集矩阵转置与电压关系
基本割集矩阵的转置在电路分析中具有重要应用，它与支路电压和节点电压之间存在以下关系：
其中：
- v：支路电压向量（b×1维）
- e：节点电压向量（(n-1)×1维）
- ：基本割集矩阵的转置（b×(n-1)维）
这个方程表明每条支路的电压都可以表示为与其相关的割集（广义节点）电压之差
