矩阵求逆 | Z-cosy

对于一个n×n的方阵A，如果存在另一个n×n的方阵B，使得：

其中I为单位矩阵，则称B是A的逆矩阵，记作：

将增广矩阵[A|I]通过初等行变换化为[I|A⁻¹]的形式：

其中I是单位矩阵，即主对角线上的元素都是1，其他位置的元素都是0的方阵：

对于非奇异矩阵A，其逆矩阵可以表示为：

其中|A|为矩阵A的行列式，A*为A的伴随矩阵

对于2×2矩阵：

其逆矩阵为：

对于具有特殊结构的大型矩阵，可以使用分块矩阵法求逆，这种方法可以简化计算过程。

设A为分块矩阵：

其中A₁₁是n×n矩阵，A₂₂是m×m矩阵。如果A₁₁和A₂₂都是可逆矩阵，则A的逆矩阵可以表示为：

其中S为舒尔补码（Schur complement）：

这种方法在处理特殊结构的矩阵（如块对角矩阵）时特别有效。它可以将大矩阵的求逆问题转化为求解较小矩阵的逆，从而降低计算复杂度。

特殊情况下，当A₁₂=A₂₁=0时，矩阵A成为块对角矩阵：

此时，矩阵A的逆变得非常简单，只需分别求出A₁₁和A₂₂的逆即可：

这种情况下计算变得更加高效，因为可以将一个大矩阵的求逆问题分解为两个独立的小矩阵求逆问题。