电压方程：
电流方程：
变量替换
通过数学变换进行华丽的解耦
正弦交流激励下的电压电流表达式：
其中，u，i既是x的函数，又是t的函数
接下来我们将其改写成复数形式：
其中和这两个复数量只是x的函数，和时间t无关。这实际上表示了原向量的幅值和初相位（与x有关）。
乘上旋转因子（与t有关），取虚部，就得到了原来的正弦激励：
实际上，这就是之前电路原理中构造相量的操作
代入上述偏微分方程，实现了关于t、x的解耦求导：
简化后的方程：
同理，对关于电流的方程进行同样的操作可以得到：
传播系数
传输线单位长度上的串联阻抗：
传输线单位长度上的并联导纳：
注意：需要明确Z₀Y₀并非阻抗与导纳的相乘。这里的Z₀Y₀乘积并不为零，而是一个复数。这是因为Z0Y0描述的并不是同一个东西
传输线的传播系数：
其中：
- 无量纲
- 虚部α称为相位常数，表示传输线上波的相位变化
- 实部β称为衰减常数，表示传输线上波的衰减程度
波阻抗
将复数形式的电压电流方程相除，定义波阻抗：
波阻抗是一个复数，其量纲是欧姆（Ω）。
物理意义：波阻抗描述了传输线上行波的电压与电流之间的关系，是传输线的一个重要特性参数。
解电压方程
对上式两边求导：
根据之前的方程：
将其代入：
根据齐次线性微分方程求解步骤，先求该方程的特征方程：
特征方程的两个特征根为：
因此，该二阶常系数齐次线性微分方程的通解可以写成：
解电流方程
同理，我们可以求解电流方程：
电流方程的通解为：
根据电压电流的关系方程：
将电压通解代入上式：
整理可得：
因此：
最终电流通解可以表示为：
初始条件的确定
已知始端电压电流分别为
根据起点位置x=0，有：
联立方程组求解：
将系数代回原方程，得到最终解。解可以写成两种等价形式：
形式一：指数形式
形式二：双曲函数形式
利用双曲函数的定义：
这两种形式是完全等价的，可以根据具体问题选择更方便的形式使用。
可以将解改写为：
已知末端电压电流分别为
根据终点位置x=l，有：
联立方程组求解：
形式一：指数形式
形式二：双曲函数形式
其中，
这是一个双口网络！！！
值得指出的是，波阻抗与负载无关，这是初学者容易疑惑的问题。事实上，研究问题是我们将传输线看作一个双口网络
电源、负载并不是我们直接研究的对象。解决实际问题时，也是用类似双口网络的思路研究，将分布参数问题化为集中参数问题
传输线的入端等效阻抗
- 首先定义入端等效阻抗Zi为电压与电流的比值：
- 将双曲函数形式的电压电流表达式代入（其中x' = l-x）：
- 将这两个表达式相除得到：
- 令负载阻抗 Z₂ = U₂/I₂，将U₂ = Z₂I₂代入分子分母：
- 提取公因子I₂：
- 分子分母同时除以ch(γx')，利用双曲正切的定义th(γx') = sh(γx')/ch(γx')：
- 当时，得到输入阻抗的最终形式：
例1
例2 三相线要看作有三条中线
