从理想滤波器到实际滤波器，在具体实现过程中利用“逼近”函数满足所需指标
STEP1：
根据给定的频率响应特性（一般通过容差图给出）寻求一种可实现的有理函数 ，使它满足设计要求，亦即逼近
（脚标的’a’ for analog，模拟）
STEP2：
由选定的 实现二端口网络的电路结构和参数值
容差图
通带最大衰减：
阻带最小衰减：
通带截止频率：
阻带截止频率：
大佬设计好了典型的函数，后人直接抄作业
对于典型的可实现 函数，往往是先给定 ，由此寻找
给定 ，寻找
给定频率特性模平方，求系统函数的步骤：
- 系统要求：
- 需满足系统稳定性要求
- 极点只能在左半平面
- 期望是t的实函数
- 需满足最小相移要求
- 极点决定系统的零状态响应；零点决定系统的频率特性
- 可以证明，零点也需在左半平面
- 共轭对称性：
- 具有共轭对称性：
- 零极点特性：
- 复数的零、极点必定呈共轭分布，对实轴也呈对称分布
- 的零、极点分布对轴呈镜像对称分布
- 奇函数＋共轭对称性共同作用
- 的分子、分母多项式都是s的实系数多项式
- 解的唯一性：
- 若不加任何限制条件，满足解的有多个
- 若限定是最小相位的，且系统是稳定的，则只能取所有左半平面的零、极点作为的零、极点，此时的解是唯一的
总而言之，选取位于左半平面的零点和极点作为的零点和极点即可
最平响应特性曲线——Butterworth
Butterworth幅频特性
巴特沃思滤波器是最基本的逼近函数形式之一。它的频率特性模平方为：
其中：
- N是滤波器的阶数
- Ωc是滤波器的截止角频率
- 当Ω = Ωc时，
巴特沃思滤波器具有以下特点：
- 最大平坦性：
- 在Ω = 0点，它的前(2N-1)阶导数都等于零
- 这表示在Ω = 0附近一段范围内非常平直
- 以原点的最大平坦性来逼近理想低通滤波器，"最平响应"由此而得名
- 频响曲线的单调下降特性：
- 无论在通带、阻带（或过渡带）都具有此特征
- 这是巴特沃思逼近函数的重要属性
- 滤波器的截止频率（3 dB带宽）：
- 当时，，称为半功率点
- 无论阶数N取何值，巴特沃思滤波器的3dB带宽都是相同的，即位于Ω = Ωc
- 滤波器频带特性与阶数N的关系：
- 随着N值的增大，频带边缘下降越陡峭，更加接近理想滤波特性
- 当Ω > Ωc之后，特性曲线近似以20NdB/倍频程速度下降
- 增加N可以改善衰减特性，但代价是实现电路的元件数量也要增加
- 相频特性：
- 具有良好的相频特性，在通带内没有起伏，比较接近直线
Butterworth系统函数
根据式和式建立巴特沃思滤波器的系统函数表达式：
- 令代入式得到：
- 的极点满足：
- 极点表达式：
当为奇数时：
当为偶数时：
- 统一表达式：
- 极点的分布规律：
- 的个极点以为间隔均匀分布在半径为的圆周上，这个圆称为巴特沃思圆
- 对应的极点在左半平面
- 因为起点是从
- 所有极点以轴为对称轴成对称分布
- 当为奇数时，有两个极点分布在的实轴上；而为偶数时，实轴上没有极点
- 所有复数极点两两呈共轭对称分布
归一化处理
这是为了更方便的给出Butterworth多项式表
为了简化分析过程，对系统函数表达式进行归一化处理：
- 令 ，s'称为归一化复频率
- 此时巴特沃思圆半径简化为单位圆(Ωc = 1)
- 对频率Ω也可进行归一化：为归一化频率值
- 此时滤波器的截止频率等于1
通过取全部左半平面极点，可以写出 Ha(s') 表达式：
其中 为位于左半平面的极点值，共有N个。
图中还展示了N=2时的例子，通过计算得到系统函数：
这里的多项式被称为巴特沃思多项式，可用于求得任意N值时的表达式。
最后使用的时候，需要把根据所选定的截止频率代入，随后得到的分母部分
