STEP1：
给出容差图（解决逼近问题）
必须注意，与模拟滤波特性的不同之处在于频响曲线将以2π为周期重复出现
STEP2：
选定 （解决电路结构）
intro
数字滤波器按照系统冲激响应 的特征可分为两大类型：
- 无限冲激响应型(IIR)：其冲激响应 无限延长
- 有限冲激响应型(FIR)：其冲激响应 在有限长时间内结束
数字滤波器信号频谱的几个关键部分：
- ：输入信号的频谱
- ：输入信号的离散频谱
- ：系统频率响应
- ：输出信号的离散频谱
- ：理想低通特性
- ：输出信号的频谱
线性时不变离散系统的系统函数 可表示为：
当系数 时构成 IIR 滤波器，当 时对应 FIR 滤波器。
让我们通过差分方程来理解 的作用：
- 当 时（FIR滤波器）：
- 差分方程变为：
- 输出只依赖于当前和过去的输入样本
- 一旦输入信号停止，经过M个采样周期后输出必然为零
- 当 时（IIR滤波器）：
- 差分方程包含反馈项：
- 当前输出不仅依赖于输入，还依赖于系统过去的输出
- 即使输入信号停止，由于反馈作用，输出会无限持续下去
两种滤波器设计的思路，可以达成同样的目的
IIR
技术思路：从模拟滤波器到数字滤波器
这一过程的要害是完成s域到z域之间的映射转换，使得数字滤波器满足模拟滤波器的特性
映射转换的方法不同，也就得到了冲激响应不变法、双线性变换法两种方法
数字滤波器设计流程如下：
STEP1：给定数字滤波器技术指标
STEP2：转换成模拟滤波器指标
STEP3：设计模拟滤波器
STEP4：通过s域与z域映射，求得所需的数字滤波器
STEP5：验证。因为转换的过程不可避免的会带来效率的损失，需要进行验证考察所述数字滤波器是否满足一开始的要求
IIR滤波器的设计需要借助模拟滤波器的技术和数据。为了保持模拟滤波器的特性，s域与z域之间的映射需满足以下条件：
- 模拟滤波器的频率特性 和数字滤波器的频率特性 需要相互对应，要求s域的虚轴 映射为z平面的单位圆
- s域左半平面映射到z平面的单位圆内部，这样可以保证稳定的模拟滤波器映射后仍是稳定的数字滤波器
下面的两种方法都是在讨论如何实现s域到z域的变换！
冲激响应不变法
简单来说，我们得到了 ，通过的映射关系映射到
这种方法有多值映射的问题，相当于对h(t)做DTFT
冲激响应不变法的主要步骤：
- 把模拟滤波器的冲激响应 进行等间隔抽样，抽样值 作为数字滤波器的单位样值响应 ：
其中T为抽样间隔。
- 设模拟滤波器系统函数的单极点表达式为：
其中：
- 对 取逆变换得到：
- 按抽样规定进行z变换，最终得到数字滤波器的系统函数：
这表明极点 映射到z平面的位置 。若 在左半平面，则 位于单位圆内，从而保证了滤波器的稳定性。
上述内容介绍了冲激响应不变法中 与 的对应关系：
通过傅里叶级数展开和拉氏变换，可以得到：
这表明z平面与s平面的映射具有多值对应关系：
- 当 , 时，有 ,
- 当σ不变，Ω以 的整倍数改变时，映射值不变
- 这意味着s平面沿着jΩ轴被分成了宽度为 的水平带，每条带都会映射到整个z平面
- 这种多值性是冲激不变法的一个缺点
因为信号在采样过程中会产生频谱的混叠现象，冲激响应不变法无法实现高通滤波器和带阻滤波器。这是因为在映射过程中，s平面上高频部分的频率响应会在z平面上产生混叠，导致无法准确保持原有的高频特性。
值得说明的问题
- 原信号的拉普拉斯变换
- 原信号的理想采样信号的拉普拉斯变换与原信号的拉普拉斯变换的关系
这是由于理想采样信号可以表示为原信号与冲激串的乘积，经过拉普拉斯变换后得到周期性重复的频谱。其中T为采样周期。
是在虚轴上以为周期的周期延拓（教材上没有讲清楚这一点）
- z变换与原信号理想采样信号的拉普拉斯变换之间的关系：
根据的映射关系，当频率增加 时：
因此该映射在频率域上的周期为
- 因此两个方面的周期是相同的；因此得到的H(z)在单位圆上也是一个周期延拓的关系
双线性变换法
冲激响应不变法最大的问题就是，在对冲激响应进行等间隔取样的过程中造成了的周期延拓，最后造成了频谱的混叠。
解决方案：
抛弃中间理想采样的步骤，直接把
双线性变换法中s与z的对应关系：
反解可得：
此变换的特点：
- 分子与分母都是变量的线性函数，因此称为双线性变换
- 为单值对应映射
当 ， 时，s域与z域的映射关系为：
重要性质：
- 对s域的左半平面（），有 ，因此稳定的 可以变换成稳定的
- s平面的虚轴（）上有 且：
或
记忆方法：，
这表明s平面的虚轴映射到z平面的单位圆，且Ω与ω呈单值映射关系，可以避免混叠。但这是非线性变换，频率特性会引起失真，因此在设计时需要进行预畸变校正。
预畸变
非常简单，就是在进行数字滤波器的标准与模拟滤波器的标准相互转换时，由于变换的非线性，需要套用下面的公式进行转换。
值得说明的是，预畸变只能解决部分点的非线性问题（也就是我们选定的、作为滤波器指标的那些位置），不能解决其它位置非线性的问题
非线性仍然是双线性变换法的重大缺陷
适用范围：过渡带不要求线性相位
IIR数字滤波器的网络结构
要求：能够根据差分方程画出各种类型的网络结构
方框图表示法于信号流图表示法
直接I型结构
这是最基本的结构形式，直接根据系统函数得到。其差分方程为：
实现步骤：
- 首先计算输入部分（非递归部分）：
- 然后计算输出部分（递归部分）：
- 最后将两部分相加得到输出
特点：
- 结构简单直观，便于理解
- 需要个存储单元
- 计算量较大，共需要次乘法和次加法
直接II型结构
观察不难发现，直接II型就是把直接I型平移之后拼到了一起
这是直接I型的改进形式，通过引入中间变量来优化存储空间。其方程为：
实现步骤：
- 先计算中间变量：
- 再用中间变量计算输出：
特点：
- 存储单元数量减少，只需要个存储单元
- 计算量与直接I型相同
- 对有限字长的影响不同，可能会出现较大的舍入误差
考试要考！！！
直接型的缺点
- 系统灵敏度高：系统函数的极点和零点对系数的变化很敏感
- 误差积累大：由于系数量化、舍入误差等原因，计算过程中误差会不断累积
- 难以实现高阶滤波器：当滤波器阶数较高时，直接型结构可能会导致系统不稳定
级联型结构
首先对原本的系统函数的分子分母进行因式分解
一阶子系统和二阶子系统采用直接Ⅱ型实现，各个子系统级联得到整个系统，成为级联型网络结构
级联型结构的特点：
- 系统函数可以分解为一系列低阶子系统的乘积：
- 每个子系统都是一阶或二阶系统，使用直接型结构实现
- 各级串联，前一级的输出作为后一级的输入
并联型结构
系统函数通过部分分式展开，分解为若干个一阶或二阶子系统的并联形式：
其中每个子系统采用直接型实现，各个子系统的输出相加得到整个系统的输出，称为并联型网络结构。
并联型结构的特点：
- 各个子系统相互独立，互不影响
- 具有较低的系统灵敏度
- 易于实现高阶滤波器
- 便于进行并行处理，提高运算速度
- 计算误差不会在子系统间传播
并联型结构的系统输出为：
其中为第k个子系统的输出。
