基本概念

FIR（Finite Impulse Response，有限冲激响应）滤波器是一种重要的数字滤波器类型。与IIR（无限冲激响应）滤波器相比，FIR滤波器具有以下特点：

• 系统函数只有零点，没有极点（除了z=0处可能有极点）

• 单位冲激响应序列长度有限

• 系统一定稳定

• 可以实现严格的线性相位特性

FIR滤波器的输入输出关系可以表示为：

其中，为滤波器系数，N为滤波器阶数。与IIR滤波器不同，FIR滤波器的输出仅与当前和过去的输入值有关，不依赖于之前的输出值。

可以看出，输出只和历史的输入有关，和历史的输出无关。一旦输入停止，一段时间之后（所有延时的输入都变成零之后），输出也会变成零，所以是有限长的

FIR滤波器的系统函数可以表示为：

而IIR滤波器的系统函数为：

对比可见：

• IIR滤波器的系统函数包含分母项，这意味着它具有极点，使得系统可能不稳定

• IIR滤波器的输出不仅依赖于输入，还依赖于之前的输出，这体现在系统函数的分母项上

• FIR滤波器的系统函数只有分子项，没有分母项（或分母为1），这保证了系统的稳定性

• 由于结构差异，IIR滤波器通常可以用较低的阶数实现与FIR相同的幅度响应，但难以实现严格的线性相位

由

本质上，就是通过对称性提一个公共的因子出来，把剩下的项两两凑成/

很显然的，偶对称最终会得到和的形式，所以是幅度函数是，从零开始

奇对称最终会得到差的形式，并且会产生一个额外的负号👉幅度函数是，从开始

若偶对称

1. 首先基于偶对称条件，并令，将z变换表达式重写

2. 经过一系列推导，得到的表达式：

1. 在单位圆上，令，得到频率响应：

1. 最终得到幅度函数和相位函数：

• 幅度函数：

• 相位函数：

💡

幅度特性≠幅频特性；相位函数≠相频特性

 

从幅度函数看，若N为奇数：（最佳方案）

从幅度函数看，由于：

故和皆对偶对称。

令：

此处：

从幅度函数看，若N为偶数：

 

若奇对称

若奇对称时（）：

1. 系统函数表达式：

1. 频率响应：

1. 幅度函数和相位函数：

相位函数既有线性相位特性，同时又有90度的相移。

从幅度函数看，若N为奇数，可求得：

此处

特点：

• (1) 对、、呈奇对称。

• (2) 在、、处为零，即在处各有一个零点。故具有这种特性的FIR滤波器无法实现低通、高通和带阻滤波特性。

从幅度函数看，若N为偶数，可求得：

此处

特点：

• (1) 对、呈奇对称，在处呈偶对称。

• (2) 在、处为零，即在处有一个零点。故具有这种特性的FIR滤波器无法实现低通和带阻滤波特性。

FIR滤波器的零极点分布

极点

只有z=0一个零点，在单位圆内部👉FIR系统一定是稳定的

零点

共轭性

对于一个系数实数的FIR滤波器，其系统函数可以写为：

如果z₀是H(z)的零点，则：

由于h(k)为实数，对上式取共轭：

这表明z₀*也是H(z)的零点。因此，FIR滤波器的零点在z平面上是关于实轴对称分布的，即成共轭对出现。

• 实轴上的零点可以单独出现

• 非实轴上的零点必须成共轭对出现

这一特性对于理解FIR滤波器的频率响应特性很重要。

关于圆对称

对于系数为实数的FIR滤波器，其系统函数可以写为：

如果z₀是H(z)的零点，则：

将z₀替换为1/z₀*：

取共轭：

这说明如果是H(z)的零点，则也是H(z)的零点。因此，FIR滤波器的零点在z平面上关于单位圆对称分布。

结合之前的共轭对称性，我们可以得出：

• 如果是零点，则、和都是零点

• 实轴上的零点如果不在单位圆上，必须成对出现（如果是零点，则也是零点）

• 单位圆上的零点可以单独出现

窗函数法设计FIR数字滤波器

1. 目标：设计一个FIR滤波器，使其逼近理想滤波器的频率特性

1. 设计步骤：

• 通过IDTFT将理想频率特性转换为时域序列

• 设计实际的时域序列

• 通过DTFT将转换为实际的频率特性

1. 窗函数法的特点：

• 在时域内进行设计
• 也就是说，窗函数在时域内对截断

• 不需要借助原型模拟滤波器

• 使用有限长的序列来逼近理想滤波器的无限长序列的频率特性

均方误差最小准则

过冲

窗函数法设计数字滤波器的步骤：

1. 根据通带、阻带衰减及过渡带宽等设计指标选择窗函数，并确定窗宽和截止频率。
1. 由阻带衰减指标筛选窗函数。
例如：最小阻带衰减要求大于21dB，则不能使用矩形窗
2. 由过渡带宽度的要求初步选定阶数N
3. 对于低通数字滤波器：
• 当时，
• 过渡带宽
• 截止频率

2. 根据设计要求的理想滤波器频率特性求出无限长单位冲激响应。

3. 用截断得到实际滤波器的。

4. 求出所设计滤波器的系统函数和频率特性，并验证。

FIR数字滤波器的网络结构

直接型

FIR数字滤波器的微分方程为：

级联型（因式分解）