实验名称： 列主元消去法
专业： 电气工程及其自动化
姓名： 曾文博
学号： 3230105669
日期： 2025.4.9
1 引言
在数值计算中，求解线性方程组是一个基础且重要的问题。列主元消去法是高斯消去法的一种改进算法，通过在消去过程中选择主元素来提高计算的数值稳定性。该方法不仅能有效地求解线性方程组，还能实现矩阵的PA=LU分解，这对于解决实际工程问题具有重要意义。
2 实验目的和要求
试用列主元消去法求解方程组（实现）
3 算法描述
本程序采用了模块化的程序设计思想，主要包含以下步骤：
- 矩阵维度检查：验证输入矩阵A和向量b的维度是否匹配，确保A为方阵
- 初始化矩阵：创建置换矩阵P、单位下三角矩阵L和上三角矩阵U的初始值
- PA=LU分解：通过列主元高斯消去法实现矩阵分解
- 选择主元：在当前列中选择绝对值最大的元素作为主元
- 行交换：交换对应的行，同时更新P、L和U矩阵
- 消元过程：计算乘数因子并进行行变换
- 求解方程组：
- 前向替换：求解Ly=Pb
- 回代求解：求解Ux=y
4 程序代码及注释
4.1 初始化与维度检查模块
4.2 矩阵初始化模块
4.3 PA=LU分解核心模块
4.4 方程组求解模块
5 算法分析
列主元消去法相比普通的高斯消去法具有以下优点：
- 通过选取主元提高了计算的数值稳定性
- 有效避免了在消元过程中除数过小导致的舍入误差
- 能够处理一些普通高斯消去法难以处理的病态方程组
6 结论
本实验实现了列主元消去法求解线性方程组，并完成了PA=LU分解。通过实验我们发现：
- 列主元的选择对算法的数值稳定性起着关键作用
- 模块化的程序设计使得代码结构清晰，便于维护和调试
- 该方法在实际应用中具有良好的计算效率和数值稳定性
7程序验证
通过程序验证结果可以看出：
- 程序成功对给定的3x3矩阵方程组进行了求解，得到了正确的解向量 x = [3; 1; 2]
- 通过验证PA-LU的结果可以看到，其差值在10^-15量级，即接近计算机的机器精度，说明PA=LU分解是正确的
- 通过验证Ax-b的结果可以看到，其差值同样在10^-15量级，证明了所求得的解x确实满足原方程组
这些验证结果表明：
- 程序实现的列主元消去法具有很高的数值精度
- PA=LU分解过程稳定可靠
- 最终求得的解是准确的
因此，可以认为该程序的实现是成功的，能够有效地解决实际问题。
8完整代码
参考文献
[1] 李庆扬, 王能超, 易大义. 数值分析. 华中科技大学出版社, 2000.
[2] Gilbert Strang. Linear Algebra and Its Applications. Brooks Cole, 2005.
