应用于节点
矩阵形式KCL
支路电压与节点电压的关系
支路电压和节点电压之间存在重要的关系，这可以用关联矩阵的转置来表示：
其中：
• u为支路电压列向量
• 为关联矩阵A的转置
• 为节点电压列向量
下图中所示，没有在方程中出现的节点电压就是我们选定的参考电位
这个关系表明任何支路的电压都等于其终点节点电压减去起点节点电压
应用于回路
KVL：闭合回路压降为零
支路电流与回路电流的关系
支路电流和回路电流之间的关系可以用回路矩阵的转置来表示：
其中：
• i为支路电流列向量
为回路矩阵B的转置
• 为回路电流列向量
这些方程表明每条支路的电流可以表示为流经该支路的所有回路电流的代数和。为回路电流法做准备
特勒根定理、KCL、KVL的内在联系
结论：KCL、KVL和特勒根定理构成了一个完备的三角关系，知其二必能推导出其三。
1. 已知KCL和KVL，证明特勒根定理
- KCL的矩阵形式：
- KVL的矩阵形式：
- 功率表达式：
由于Q和B正交：
将KVL中的v表示为：
代入功率表达式：
即特勒根定理成立。
2. 已知KVL和特勒根定理，证明KCL
反证法：假设KCL不成立，则：
由KVL可知：
代入特勒根定理：
而由假设：
这与特勒根定理矛盾，因此KCL必然成立。
3. 已知KCL和特勒根定理，证明KVL
反证法：假设KVL不成立，则：
由KCL可知：
代入特勒根定理：
而由假设：
这与特勒根定理矛盾，因此KVL必然成立。
（节点）关联矩阵与回路（关联）矩阵之间的关系
按照先树支后连支编号
节点关联矩阵A与回路关联矩阵B之间存在重要的正交关系：
下面对这个结论通过分类讨论进行简要说明，先看第一行乘第一列，第一行表示和节点1关联的支路，第一列表示和回路1关联的支路：
- 和节点/回路都关联的支路（1，2）
- 在节点关联矩阵中同号，那么一定一个和回路方向相同，另一个和回路方向相反，和为零
- 在节点关联矩阵中异号，那么在回路中一定同向或反向，乘积的符号相反，和为零
- 如果只与节点关联而不与回路关联，在回路矩阵中对应元素为0，乘积为0
- 如果只与回路关联而不与节点关联，在节点矩阵中对应元素为0，乘积为0
最终结果一定是零！
