4.4.1线性时不变离散系统的时域法分析（不考）
线性时不变离散系统的差分方程：
展开形式：
已知N个初始条件：
y(-1), y(-2), ..., y(-N)
线性时不变离散系统的时域法分析（经典解法）
迭代法
迭代法是求解差分方程的基本方法，其核心思想是：从已知的初始条件出发，逐步计算系统在后续时刻的输出。
迭代法的基本步骤
- 步骤1：明确差分方程及其初始条件- 确定差分方程的系数和阶数- 列出所有已知的初始条件
- 步骤2：将差分方程重排为显式形式- 将输出项y(n)单独放在等式左边- 其他所有项移到等式右边
- 步骤3：按时间顺序逐步求解- 从n=0开始，依次代入n=1,2,3...- 利用已知的初始条件和输入值- 计算每个时刻的输出值
迭代法示例
考虑以下差分方程：
初始条件：y(-1) = 1
输入序列：x(n) = 2u(n)，其中u(n)为单位阶跃序列
求解过程：
- 1. 将差分方程重排： y(n) = 0.5y(n-1) + x(n)
- 2. 逐步求解：
当n = 0时：
当n = 1时：
当n = 2时：
当n = 3时：
因此，系统输出序列的前几项为：
y(n) = {2.5, 3.25, 3.625, 3.8125, ...}
可以观察到输出序列逐渐趋近于4。
通解特解法
通解特解法是求解线性时不变离散系统差分方程的另一种重要方法。该方法的基本思想是将系统的完全响应分解为零输入响应和零状态响应。
通解特解法的基本步骤
- 步骤1：求解齐次差分方程（通解）
- 将差分方程中的输入项置零
- 假设解的形式为
- 求解特征方程得到特征根
- 根据特征根的性质写出通解形式
- 步骤2：求解非齐次差分方程的特解
- 根据输入信号的形式假设特解的形式
- 将特解代入原差分方程
- 确定特解中的未知系数
- 步骤3：求解完全解
- 将通解和特解相加得到完全解
- 利用初始条件确定通解中的常数
常见输入信号的特解形式
- 当输入为指数信号时：
特解形式：
- 当输入为正弦信号时：
特解形式：
- 当输入为多项式信号时：
特解形式：
注意事项
- 如果特解形式与通解形式相同，需要将特解形式乘以nᵏ（k为重根的重数）
- 特解的形式选择需要考虑输入信号的特点
- 初始条件的数量必须等于差分方程的阶数
通解特解法相比迭代法的优势在于可以得到系统响应的解析表达式，便于分析系统的长期行为和稳态响应。
通解特解法示例
初始条件：y(-1) = 1
输入序列：x(n) = 2u(n)
步骤1：求解齐次差分方程（通解）
齐次差分方程：y(n) - 0.5y(n-1) = 0
假设y(n) = λⁿ，代入得特征方程：
求解得：λ = 0.5
因此通解形式为：
步骤2：求解特解
由于输入为常数（阶跃响应），特解形式假设为常数：
代入原方程：
解得：A = 4
因此特解为：
步骤3：求解完全解
完全解为通解和特解之和：
代入初始条件y(-1) = 1求解C：
因此最终解为：
这与之前迭代法得到的结果一致：当n趋于无穷时，(0.5)ⁿ趋于0，因此y(n)趋于4。
卷积法
4.4.2 线性时不变系统的Z域分析
离散系统差分方程的Z变换
对等式两边进行Z变换时，需要考虑初始条件的影响。设初始条件为y(-1), y(-2), ..., y(-N)：
利用Z变换的平移性质：
代入原方程：
将上式整理得：
可以将Y(z)分解为零输入响应YZI(z)和零状态响应YZS(z)：
其中：
其中H(z)为系统函数：
用Z变换求解差分方程的方法是：对差分方程两边进行Z变换，然后求取Z反变换
例题：
初始条件：
解题步骤：
- 对差分方程两边进行Z变换，考虑初始条件：
- 将方程整理为Y(z)的形式：
- 将Y(z)/z进行部分分式展开：
最终解：
系统函数域卷积和的关系
离散系统函数
系统的零状态响应的Z变换与激励的Z变换之比称为系统函数，用H(z)表示：
就是对应系统的结构；
需要掌握这样的能力，就是和差分方程和程序流图相互转换
时域卷积特性
如果两个序列的Z变换分别为X₁(z)和X₂(z)，则它们的卷积序列的Z变换为：
这一特性在线性时不变系统分析中特别重要，因为：
- 系统的输出序列等于输入序列与系统的单位脉冲响应的卷积
- 在Z域中，这种关系转化为简单的乘积：
Z域乘积对应着时域卷积
因此，系统函数H(z)也可以定义为系统单位脉冲响应的Z变换：
这就解释了为什么H(z)对应着单位脉冲序列的零状态响应。
使用时域卷积特性求解零状态响应
这两种方法（Z域乘积和时域卷积）在理论上是等价的，但在实际计算中可以根据具体情况选择更便捷的方法。
值得说明的是，从这个最根本的表达式可以看出来，是系统的输入，而不是等号右边的全部（系统的全部激励，过去和现在的输入的线性组合）
例题
求下列差分方程的单位脉冲响应：
解答步骤
1. 求解系统函数H(z)
2. 将H(z)化简
3. 求取Z反变换得到单位脉冲响应h(n)
注意：差分方程和系统函数H(z)存在对应关系，需要掌握它们之间的相互转换。
系统函数与系统稳定性的关系
系统稳定性是指系统对于有界输入产生有界输出的特性。对于线性时不变离散系统，其稳定性可以通过系统函数H(z)的极点位置来判断。
系统函数的零极点表达
系统函数可以用零点和极点的形式表示为：
其中：
- K：增益常数
- z₁, z₂, ..., zₘ：系统函数的零点
- p₁, p₂, ..., pₙ：系统函数的极点
零极点表达式的特点：
- 分子的根为系统函数的零点
- 分母的根为系统函数的极点
- 零点和极点可以是实数或共轭复数对
零极点图是分析系统特性的重要工具，它直观地显示了系统的频率响应特性和稳定性。
系统函数H(z)的极点表达与单位脉冲响应h(n)的关系：
对应的单位脉冲响应：
- ：残值（Residue）
- ：极点
- ：单位阶跃函数
这表明单位脉冲响应h(n)是所有极点引起的零状态响应的叠加
对于系统函数中的极点，其大小与系统的稳定性直接相关：
- 当|| > 1时： 单位脉冲响应将随着的增大而发散，系统不稳定。这是因为的幅值会无限增大。
- 当|| = 1时： 单位脉冲响应将产生持续振荡，系统处于临界稳定状态。此时的幅值保持不变。
- 当|| < 1时： 单位脉冲响应将随着的增大而衰减至零，系统稳定。这是因为的幅值会逐渐减小。
因此，只有当所有极点的幅值都小于1（即位于平面的单位圆内）时，系统才是稳定的。
系统稳定性的充分必要条件：
1. 系统函数H(z)的所有极点都必须位于单位圆内
2. 系统的单位脉冲响应绝对可和
4.4.3 线性时不变系统的频域法分析
离散系统的频率响应是指系统对正弦型或复指数输入信号的稳态响应特性。它描述了系统在不同频率下的传输特性。
复指数信号的稳态响应
当输入信号为：
则稳态输出信号为：
令，这便是Z变换的表达式；实际上，这也就是DTFT的表达式，因为DTFT就是Z变换在单位元素上取值的结果
这样我们就得到了所需的结果，即当输入为复指数信号时，输出是频率响应与该复指数信号的乘积。
其中称为系统的频率响应，它是系统函数在单位圆上的取值：
- ||：幅频响应，表示系统对不同频率分量的增益特性
- ：相频响应，表示系统对不同频率分量的相位延迟特性
频率响应是一个周期为2π的复值函数，通常只需分析主值区间[-π,π]或[0,2π]的特性
正弦信号的稳态响应
可以通过系统函数表达为：
其中：
- ℜ[]表示的实部
- ℑ[]表示的虚部
当输入为正弦信号时：
可以将其表示为复指数信号的组合：
则稳态输出为：
这表明：
- 幅值变化：输出信号的幅值为输入信号幅值与幅频响应的乘积
- 相位变化：输出信号的相位为输入信号相位加上系统的相频响应
系统对正弦信号的响应仍然是同频率的正弦信号，只是幅值和相位发生了改变。这是线性时不变系统的重要特性。
例题
这实际上就是设计FIR数字滤波器的单位冲激响应的重要步骤
