在某些控制场景中，期望的控制量大小并非恒定（不是零，也不是定值）
输入增量控制通过将控制量的增量作为新的优化目标，来实现控制系统的目的。
一、核心思想与定义
其核心思想是在LQR框架中，不直接惩罚控制输入 的大小，不直接惩罚控制输入 与 的差值，而是惩罚其在相邻时刻的变化量（增量）。
1. 定义输入增量
我们定义输入增量 为当前时刻的输入与上一时刻输入之差：
2. 改写当前输入
相应地，当前时刻的输入 可以表示为：
二、详细推导：状态增广
为了将输入增量 纳入LQR框架，我们需要构建一个新的、增广的状态空间，其输入项为 。
1. 构建增广状态向量
我们需要追踪的变量包括：系统的实际状态 、目标状态 ，以及为了计算增量所需的上一时刻的输入 。因此，定义增广状态向量 如下：
2. 推导增广状态空间方程
我们的目标是找到形如 的方程。我们分别推导增广向量中每个分量的动态。
- 推导 : 从原系统方程出发，代入 ：
展开可得：
- 推导 : 目标轨迹的动态由其自身性质决定：
- 推导 : 增广状态的第三项是 ，那么在 时刻，这一项就变成了 。根据定义：
现在，我们将这三个动态方程组合成一个矩阵形式：
由此，我们得到了增广系统的状态空间方程，其增广矩阵 和 分别为：
3. 转换代价函数
输入增量控制的代价函数旨在惩罚状态误差 和输入增量 ：
与之前的推导类似，我们将状态误差 用增广状态 表示：
其中 。
将此代入代价函数，得到关于增广状态的二次型：
最终，代价函数被转换为一个关于 和 的标准形式：
四、结论
通过状态增广，原问题被成功转化为一个以 为状态， 为输入的标准LQR调节器问题。
我们可以直接求解这个增广LQR问题，得到最优的输入增量是关于增广状态的线性反馈：
最终，系统的实际控制输入通过递推得到：
这个控制律会综合考虑当前状态、目标状态以及上一时刻的控制量，以计算出最优的、变化平滑的控制输入。
五、应用示例：匀速运动目标建模
上述框架中的目标动态转换矩阵 需要根据具体问题来定。一个常见的场景是追踪一个做匀速直线运动的目标。
- 连续时间模型
设目标的状态向量 ，其中 是位置， 是速度。匀速运动意味着位置的变化率是速度，而速度的变化率是零。
- 离散化
通过对连续系统进行离散化（采样周期为 ），可以得到离散时间下的状态转换矩阵 。
因此，离散时间下的目标动态方程为：
- 方程展开
将上述矩阵方程展开，可以更直观地理解其物理意义：
- （新位置 = 旧位置 + 速度 × 时间）
- （速度保持不变）
实验结果
代码
六、应用示例：正弦运动目标跟踪
在物理世界中，许多线性系统（如弹簧振子系统）在外力作用下会表现出正弦振动的特性。为了让一个受控系统能够精确追踪这样的正弦轨迹，我们首先需要为这个目标轨迹建立一个数学模型，通常是状态空间方程的形式。
连续时间状态空间模型
我们的目标是为目标轨迹 找到一个形如 的模型。
- 定义状态向量 为了完整描述一个运动，状态向量中通常需要包含位置和速度。我们定义目标状态向量为：
- 描述状态关系 我们设定的目标轨迹是一个正弦函数：
- 目标位置:
- 目标速度: 速度是位置的导数，因此 。
- 推导状态的导数 现在我们来构建状态空间方程。我们需要找到每个状态的导数（变化率）与状态本身的关系。
- 位置的变化率就是速度：
- 速度的变化率（即加速度）是速度的导数：
- 这里的关键一步是发现加速度与位置 的关系：
- 构建状态空间方程 将上面两个导数关系组合成一个矩阵形式：
这样，我们就得到了描述正弦运动的连续时间状态空间模型，其中连续系统矩阵为 。
离散化
在数字控制中，我们需要的是离散时间的模型 。这个模型可以通过对连续矩阵 进行离散化得到。
通过计算矩阵指数 （其中 是采样周期），可以得到：
这个 矩阵就是我们在LQR控制器（如输入增量控制）中需要使用的目标转换矩阵。
实验结果
