Newton's 2nd law：
日常生活中的运动现象都是二阶的系统
二阶系统单位阶跃响应 — 数学推导
本笔记将详细推导一个标准的二阶系统在单位阶跃输入下的响应。推导过程主要涉及拉普拉斯变换和部分分式展开。
1. 建立系统模型与标准形式
一个典型的弹簧二阶系统可以用以下微分方程描述：
其中：
- 是系统输出
- 是系统输入，
- 是阻尼比 (Damping Ratio)
- 是无阻尼自然频率 (Undamped Natural Frequency)
为了分析单位阶跃响应，我们定义输入为 ，并将其与系统参数关联，得到标准形式的方程。
输入：，单位阶跃函数
输出：
系统的标准微分方程为：
我们考察系统在零初始条件下的响应，即：
2. 求解系统传递函数
为了求解响应，我们首先对微分方程两边进行拉普拉斯变换。
利用拉普拉斯变换的微分性质 和 ，并代入零初始条件：
提取公因式 ：
由此，我们得到系统的传递函数 ：
3. 推导单位阶跃响应
3.1 响应的拉普拉斯变换
对于单位阶跃输入 (Unit Step Input)，其定义为：
其拉普拉斯变换为：
因此，系统输出响应的拉普拉斯变换 为：
3.2 部分分式展开
为了求得时域响应 ，我们需要对 进行拉普拉斯逆变换。首先，我们对 进行部分分式展开 (Partial Fraction Expansion)。
的极点是分母多项式的根：
- 的根。
我们主要关注欠阻尼情况 ()，此时系统会产生振荡。特征方程的根为一对共轭复数：
我们将 展开为如下形式：
求解系数：
- 系数 A:
- 系数 B:
其中 ，，且 。
代入计算可得：
- 系数 C:
由于 和 是共轭复数，系数 是 的共轭：
3.3 拉普拉斯逆变换与化简
对展开后的 进行拉普拉斯逆变换：
代入系数 , , 和极点 , ：
其中，阻尼固有频率 (Damped Natural Frequency) 。
- 固有频率 ()：理论上，如果你在一个没有空气阻力的环境里荡秋千，你来回摆动的频率就是固有频率。
- 阻尼固有频率 ()：在现实中，因为有空气阻力和链条的摩擦，你实际摆动的频率会比理论值稍慢一些。这个你实际感受到的、稍慢的摆动频率，就是阻尼固有频率。
提取公因式 ：
利用欧拉公式 展开化简中括号内的项，得到：
3.4 最终响应表达式
为了得到更简洁的形式，我们可以将括号内的余弦和正弦项合并为一个带相位的正弦函数。
利用三角恒等式 ，其中 。
最终可得二阶欠阻尼系统单位阶跃响应的表达式：
其中：
- 阻尼固有频率：
- 相位角：
这个表达式清晰地显示了响应由一个稳态分量 (1) 和一个随时间衰减的振荡分量组成。衰减的速率由 决定，振荡的频率为 。
欠阻尼情况（）是所有情况中数学过程最复杂的，上面给出了完整的数学推导。其它情况依照类似的思路自行推导即可。
4. Simulink仿真
4.1 仿真模型
4.2 绘图代码
4.3 仿真结果
