重要的是安培环路定律以及镜像法
几种方法的对比分析：
- 安培环路定律：要求苛刻，只能解决特殊的问题
- 镜像法：更是雕虫小技
- 毕萨定律：可以解决所有问题，但是每次计算都需要算矢量叉乘，很讨厌
- 基于矢量磁位A分析：可以解决所有问题，并且A是可以直接矢量加减的，最后统一求一次旋度。相比毕萨定律有明显优势
3.4.1毕奥萨法尔定律求B（不考）
载流直导线的磁场
值得注意的是，统一变量的时候用角量更好，因为可以回避广义积分
方向通过右手螺旋定则判断。
一些重要的结论：
值得注意的是：
结论（2）说明，对于无限长直导线，端点处的磁感应强度是中点处的一半；
“无限长”均匀载流薄铜片的磁场
分割成许多个宽度为的无限长直导线
厚度为d的无限大导板
分成无数个无限大均匀载流薄铜片的叠加
例3 真空中载有恒定体电流密度的无限大导板(厚度为)的磁场。
解：将导板对称于平面放置
(1) 看成一系列无限大薄板，厚度的元电流片的集合
(2) 先分：厚度的元电流片 产生的元磁场
(3) 后合：应用迭加原理即可分区解得
y > d/2时：
y < -d/2时：
-d/2 ≤ y ≤ d/2时：
小结：利用毕萨定律求磁感应强度
- 建立适当的坐标系
- 选取电流元,用毕奥-萨伐尔定律求出该电流元在所求点所产生的磁感应强度,并判断其方向.有时可以用已知磁感应强度的载流导线（如圆线圈、无限长直导线等）代替电流元
- 对电流分布进行对称性分析,找到要求的分量,据此分析求出电流元所产生磁场磁感应强度在各要求方向的分量
- 用磁感应强度叠加原理将各个方向磁感应强度分量相加或积分.
- 求出磁感应强度的大小和方向.
讨论:电流中每个运动电荷对磁场的贡献
3.4.2 利用安培环路定律求磁场B
在所选取的环路上，只有1-2；3-4路径上的不为零。
3.4.3 场分布：基于矢量磁位A的分析
以无穷远处为参考点，对于不同类型电流的矢量磁位积分形式：
对于体电流：
对于面电流：
对于线电流：
NOTE THAT：
类同电位函数，矢量磁位为相对度量的量，需要选定参考零点。
通常而言，选择无穷远处为参考零点
但是，当电流分布不在有限空间内则不能这么干（和 面临的问题一样），此时随便选定一个参考点即可，矢量磁位的公式需要相应改为：
直接积分求解
有限长/无限长-长直载流导线
先分：元电流段产生的元矢量磁位为：
后合（积分）：
当L≫ρ时：
求磁场：经定性分析可知，磁感应强度仅有φ方向分量，故只需计算该方向分量即可。
讨论：若导线无限长，参考点的选定：
当时：
任选为参考点，则有：
解得：
代入得到：
磁场：
无限长直平行输电线磁场
解：
设点为参考点，则：
求磁偶极子远区的磁场
解：取球坐标系，令坐标原点位于电流环的中心，且电流环的平面位于xoy平面内。由于结构对称，场量一定与无关。
计算步骤：
- 计算元电流段产生的矢量磁位：
- 几何关系：
- 将代入矢量磁位表达式：
- 由对称性，有，代入：
- 积分后得到：
这里磁偶极矩，其中a为圆环半径
对比毕萨定律，这里给出了任意位置矢量磁位的表达式，但是形式依旧非常简洁；毕萨定律只能给出中轴线上的
- 计算磁感应强度：
其中：
可见，小电流环产生的矢量磁位A与距离r的平方成反比，磁感应强度B与距离r的立方成反比，而且两者均与场点所处的方位有关。
通过边值问题求解
根据恒定磁场的基本方程：
- 由安培环路定律和媒质构成关系：
- 由矢量磁位的定义：
- 使用矢量恒等式运算：
- 取库仑规范：
这是因为取了旋度的物理量，其本身具有不唯一性。具体来说：
- 当我们定义时，如果对A加上任意标量函数ψ的梯度，即，新的A'与原来的A会得到相同的B
- 这是因为任意标量场的梯度的旋度恒等于零：
- 为了消除这种不确定性，需要附加一个规范条件。库仑规范是最常用的一种规范
选择库仑规范的好处是可以将问题简化为矢量泊松方程，这种方程更容易求解。
- 得到矢量泊松方程：
特殊情况：当时，得到矢量拉普拉斯方程：
注意：
- 取决于不同的坐标系，有不同的展开式
对于直角坐标：
令无限远处（参考磁矢位），方程特解为：
矢量合成后，得到：
注意：，和的特解可类比泊松方程
A的直接积分计算式是 的特解：
对于体电流：
对于面电流：
对于线电流：
3.4.4 场分布：基于标量磁位的分析
回顾：标量电位的定义
- 静电场力是保守力，做功与路径无关：
- 由此可知电场是无旋的：
- 无旋场一定是某个标量场的梯度，因此存在标量电势，使得：
负号表示电场方向指向电势降低的方向。这与机械中势能的定义相一致：力的方向总是指向势能降低的方向。
的引入
由于 ，对于恒定磁场，一般不能引入标量位函数。但对于 的区域，由于：
所以可以引入标量磁位，并令：
由介质关系：
得到：
说明：
- 仅在无源区才有定义，故仅允许在激磁电流区域外应用分析磁场
- 类同于，但应注意，没有确切的物理意义
- 为等磁位面，与正交
- 具有多值性，需设置磁屏障
的多值性
磁压的定义
类似于静电场的电压，定义自由空间中P、Q两点间的磁压为：
由于：
所以：
因此：
磁压等于两点间标量磁位之差，这也符合静电场中的定义
磁位多值性的说明
简单来说，这是因为磁场是有旋场；任意闭合环路的积分等于环路所包围的电流
考虑一个载流直导线周围的磁场，取两个不同的路径从点A到点B：
路径1：直接从A到B
路径2：绕导线一周后从A到B
由于两条路径得到的磁压不同，说明磁位是多值的。每绕一圈，磁位的值就增加一倍电流值。
各个数值间相差为电流的整数倍
解决方案：磁屏障
为了解决磁位的多值性问题，引入了磁屏障的概念。磁屏障是一个人为设置的不可跨越的面，使磁位成为单值函数。
磁屏障的主要特点：
- 磁屏障是一个从导线延伸到无穷远的面
- 磁位在磁屏障两侧的值相差一个电流值I
- 磁场线可以穿过磁屏障，但计算磁位时不能跨过磁屏障
设置磁屏障后，任意点的磁位值将变为单值，从而使磁场分析更加便利。但需要注意的是，磁屏障的位置是人为选择的，可以根据具体问题的需要来设置。
上图中的虚线就表示一个可能的磁屏障位置。通过设置磁屏障，我们可以确保从A点到B点的磁位变化是唯一的。
基于标量磁位的分析
标量磁位的微分方程推导：
得到拉普拉斯方程（等价于磁场是无散场）：
在直角坐标系中：
下表比较了电位、标量磁位和矢量磁位的主要特征：
比较内容 | 电位 | 磁位 | 磁矢位 |
引入位函数依据 | |||
位与场的关系 | |||
ㅤ | |||
微分方程 | |||
位与源的关系 | (无源区域) |
主要区别：
- 电位可用于有源或无源区域
- 磁位仅适用于无源区域
- 磁矢位可用于有源或无源区域
3.4.5磁场线——B线（了解）
磁感应线的切线方向在每一点都与磁感应强度B的方向一致，这意味着：
直角坐标系
将它们代入叉乘方程：
展开得：
因此：
很自然的，这说明各个方向的B线长度和改方向上的大小成正比
在圆柱坐标系
同样通过叉乘为零的条件，可得：
这些就是磁感应线的微分方程。通过求解这些方程，可以得到具体的磁感应线方程。
平行平面场
在平行平面场中，磁场在xy平面内，且只与z有关，即：
根据磁感应线的微分方程：
由于分母为0，这意味着dz = 0，因此磁感应线在平行于xy的平面内。
对于矢量磁位A，在平行平面场中：
因为B是A的旋度，A一定垂直于B所在的平面
所以：
这表明A线（等线）与B线正交，因为：
