2.1.1 数学模型的作用与意义

2.1.2 数学模型的定义与特性

定义

• 数学模型是用来描述控制系统变量之间关系的数学表达式。它是对实际物理系统的简化和抽象。

重要特性

1. 抽象性与近似性
• 数学模型是实际物理系统的近似表示。在建模过程中，通常会忽略次要因素、非线性特性等，以得到一个相对简单的数学形式。因此，模型与实际系统之间必然存在误差。

2. 非唯一性 (模型 vs. 系统)
• 同一个物理系统，为了研究不同的问题或在不同的工作条件下，可以建立不同的数学模型。
• 例如：一个晶体管可以有高频等效电路模型和低频等效电路模型。

3. 普适性 (系统 vs. 模型)
• 同一个数学模型可以用来描述不同类型的物理系统。
• 例如：二阶线性常微分方程既可以描述一个弹簧-质量-阻尼器构成的机械振动系统，也可以描述一个 RLC 串联电路系统。这种普适性使得我们可以用统一的理论和方法来分析各种系统。

2.1.3 数学模型的分类

2.1.4 建立数学模型的方法

机理分析建模 (Analytical Modeling)

• 方法：基于系统所遵循的基本物理或化学定律（如牛顿定律、基尔霍夫定律、能量守恒等），通过理论推导建立数学模型。

• 特点：这是一种“白箱 (White-box)”方法，模型的结构和参数具有明确的物理意义。适用于内部机理清晰的系统。

系统辨识 (System Identification)

• 方法：对系统施加特定的测试输入信号（如阶跃信号、正弦信号），记录其输出响应数据，然后利用数学方法（如最小二乘法）估计出最能拟合这些数据的模型。

• 特点：这是一种“黑箱 (Black-box)”方法，不关心系统内部机理，只关注输入输出关系。适用于内部结构复杂或未知的系统。

混合建模

• 结合机理分析和系统辨识的方法。先通过机理分析确定模型的大致结构，再通过实验数据辨识模型中的未知参数。这是工程实践中最常用的方法。

2.1.5 常用的模型形式及其关系

常微分方程 (Ordinary Differential Equation, ODE)：

时域模型，直接描述变量间的动态关系。

• 传递函数 (Transfer Function)：复频域模型，描述输入输出关系，是经典控制理论的核心。

状态空间模型 (State-space Model)：

方块图 (Block Diagram)：

串联

并联

• 假设各支路为线性时不变环节，零初始条件。

• 两支路：，。

• 叠加：。

• 因而总传递函数

• 推广到 N 支路并联：

反馈

• 假设前向通道为 ，反馈通道为 ，采用负反馈，零初始条件。

• 比较点：误差信号 。

• 前向环节：。

• 移项：。

• 闭环传递函数（负反馈）：

• 若为正反馈（比较点"+"）：，则

• 灵活记忆：负反馈分母“加”，正反馈分母“减”。

例题1：单输入单输出

例题2：多输入多输出（叠加原理）

进一步考虑状态空间方程：

信号流图 (Signal Flow Graph, SFG)：