系统中的变量分类

• 输入变量 (Inputs)：由系统外部施加到被控过程的变量，用于驱动或影响系统。
• 控制变量：由控制器产生，期望实现目标的有意输入。
• 扰动变量：非期望但客观存在的外部影响，需要抑制其影响。

• 输出变量 (Outputs)：过程的被控量，通常可被测量或观测。用以评估系统性能，并作为反馈或监视依据。

• 状态变量 (States)：一组能够在数量最少的前提下，完全描述系统在任意时刻行为的变量集合。给定状态和输入，系统未来响应唯一确定。

状态空间的基本概念

1. 状态 (State)
• 指系统的历史信息在当前时刻的凝聚，是系统过去、现在和将来的运动状况。

2. 状态变量 (State Variables)
• 指能够完全确定系统运动状态的最小数目的一组变量。
• 对于一个 阶系统，通常需要 个状态变量来描述。
• 状态变量的选择不唯一，但其个数是唯一的。

3. 状态向量 (State Vector)
• 由 个状态变量 所构成的列向量，记为 。
• 任意时刻的状态向量代表了系统在该时刻的完整状态。

4. 状态空间 (State Space)
• 以 个状态变量为坐标轴所构成的 维空间。系统的状态向量随时间变化的轨迹就是状态空间中的一条曲线。

5. 状态空间表达式 (State-space Representation)
• 由状态方程和输出方程两部分组成，是描述系统动态特性的一组一阶微分方程组。
• 标准形式：
• 状态方程：描述状态向量随时间的变化规律。
• 输出方程：描述系统的输出与状态变量和输入之间的关系。
• 矩阵说明：
• : 维状态向量
• : 维输入向量
• : 维输出向量
• (): 系统矩阵或状态矩阵，反映系统内部状态之间的耦合关系。
• (): 输入矩阵或控制矩阵，表示输入对状态变量的影响。
• (): 输出矩阵，表示状态变量到输出的转换关系。
• (): 前馈矩阵，表示输入直接到输出的路径（在许多物理系统中 ）

状态变量的选取

• 状态变量的选取并不唯一，但通常选取具有明确物理意义的变量，这样便于理解和分析。

• 常用方法：选取与系统中独立储能元件相关的物理量作为状态变量。
• 电容 (Capacitor)：能量为 ，可选电容两端的电压为状态变量。
• 电感 (Inductor)：能量为 ，可选流过电感的电流为状态变量。
• 对于一个 阶电路，通常有 个独立的储能元件。

建模步骤与示例分析 (RLC 串联电路)

1. 确定输入、输出和阶次
• 输入：
• 输出：
• 系统中有两个独立的储能元件（电感 和电容 ），因此这是一个二阶系统，需要两个状态变量。

2. 选取状态变量
• 根据储能元件的物理量，选取：
• (电容电压)
• (电感电流)

3. 列写关于状态变量导数的一阶微分方程
• 第一个方程 (来自电容)：根据电容的元件特性 ，电路中 。
• 第二个方程 (来自电感)：根据基尔霍夫电压定律 (KVL) 列写回路方程 。
整理得到关于 的表达式：
代入状态变量：

4. 整理成状态空间表达式的标准形式
• 状态方程：将上述两个一阶微分方程写成矩阵形式。
• 输出方程：根据定义的输出 ，写出输出与状态变量的关系。
写成矩阵形式：
• 至此，完整的状态空间模型建立完毕。