一、直流电机的感应电动势（电枢电动势）
1. 定义
- 电枢电动势 ()：指电机正、负电刷之间的直流电动势。
- 其大小等于一条支路内所有串联导体感应电动势之和，因此也称为支路电动势。
2. 详细推导
- 单根导体的平均感应电动势：
其中 为平均磁密， 为导体有效长度， 为导体切割磁力线的线速度。
- 每条支路串联的导体数为：
其中 为电枢总导体数， 为支路数。
- 电枢电动势 等于一条支路的总电动势：
- 导体的线速度 与电机转速 (r/min) 的关系为：
又因为极距 ，所以电枢直径 。代入上式可得：
- 将 的表达式代入 公式：
- 整理上式，将与电机结构有关的参数放在一起：
- 定义每极磁通量 和电动势常数 ：
若不计电枢反应，则有：
- 最终得到电枢电动势的计算公式：
3. 重要结论
- 无论是作为发电机还是电动机，只要电枢绕组在磁场中旋转，都会感应出与转速和磁通成正比的电枢电动势。
- 电枢电动势的大小只与每极的总磁通量 成正比，而与气隙磁密度的具体分布形状无关。
- 当电刷位于几何中性线上时，输出的电枢电动势最大。
二、直流电机的电磁转矩
1. 定义
- 电磁转矩 ()：作用在电枢上的所有载流导体产生的电磁力所形成的总转矩。
2. 详细推导
- 单根导体的平均电磁力：
其中 为流过单根导体的电流。
- 电枢上总共有 根导体，每根导体产生的转矩为 。因此总电磁转矩为：
- 将 代入上式：
- 整理上式，将不同物理量归类：
- 定义每极磁通量 、电枢总电流 和转矩常数 ：
- (电枢总电流等于支路数乘以每条支路的电流)
- 最终得到电磁转矩的计算公式：
3. 重要结论
- 直流电机的电磁转矩与每极磁通 和电枢电流 的乘积成正比。
- 只要电枢绕组中有电流流过，无论是发电机状态还是电动机状态，都会产生电磁转矩。
- 在电动机中， 是驱动转矩
- 在发电机中， 是制动转矩
三、电动势常数 与转矩常数 的关系
和 都只取决于电机的结构参数（），他们实际上是同一个系数。
其数值不同是由于转速单位不同所致。
推导
- 将转速 (r/min) 转换为角速度 (rad/s)：
- 将该关系代入电枢电动势公式 ：
- 化简上式：
- 因为 ，所以：
这说明，当转速单位为 rad/s 时，电动势常数和转矩常数的数值是相同的。
- 比较 和 的定义式，可以得到它们的换算关系：
反电动势系数
定义
- 反电动势系数：
- 由 得 ，与主磁通成正比。
结论
- 结论 A（发电机视角）：
- 越大，在相同转速 下，感应电压 越高。低速也能得到较高电压。
- 结论 B（电动机视角）：
- 给定电枢电流 时， 越大，电磁转矩越大。
- 给定电源电压 时，空载转速近似 ，因此 越大， 越低。
数学说明
- 对结论 A：
由 可知增大主磁通或等效匝数系数可提高低速电压。
- 对结论 B（转矩与空载转速）：
- 转矩关系：
在固定 下，。
- 空载转速：忽略电枢电阻压降，电动机稳态近似 ，而 ，故
在给定电压下 随 增大而降低。
注：若使用角速度 (rad/s)，有 且数值上 ； 的结论不受速度单位影响。
四、直流电机的电磁功率
1. 定义
电磁功率 ()：是直流电机进行机电能量转换的功率，是连接电气系统和机械系统的桥梁。
2. 推导与公式
- 从电气角度看，电磁功率等于电枢电动势与电枢电流的乘积：
- 从机械角度看，电磁功率等于电磁转矩与机械角速度的乘积：
- 两者等价性证明： 将 代入电气功率公式：
因为 ，所以：
证明完毕，即 。这个关系式是直流电机能量转换的基本关系。
电枢导体数一定时，只要每级磁通和支路电流保持不变，电机在某转速下的电磁功率不变，与支路对数无关
