微分方程⇔传递函数
通过拉普拉斯变换即可实现双向转换，在零初始条件下：
微分方程 → 传递函数：对微分方程两边进行拉普拉斯变换
传递函数 → 微分方程：对传递函数进行拉普拉斯反变换
微分方程（传递函数）⇒状态空间模型
1. 从仿真图与状态变量图出发
仿真图的基本概念
仿真图类似于方块图。在没有计算机的时候，通过电子元器件对物理系统进行仿真。
基本单元：
- 理想积分器：，传递函数为
- 理想放大器：
- 理想加法器：
仿真图的绘制步骤
- 得到系统的微分方程
- 重新整理微分方程，把输出的最高次微分项放到方程左边
- 利用积分器得到各次微分项
- 根据微分方程，用低次微分项作图合成高次微分项
示例：RLC 电路
微分方程：
令 ，，整理得：
其中 ，
状态变量图
如果将系统的状态变量选择为仿真图中各个积分器的输出，仿真图就可以表示系统状态变量之间的关系，此时仿真图也称为状态变量图。
根据状态变量图，可以很容易地：
- 得到系统的状态变量（称为相变量）
- 直接得到系统的状态空间模型
2. 从相变量作为状态变量的微分方程出发
相变量的定义
相变量：当状态变量为变量及其各阶导数时，称相应的状态变量为相变量。
特点：
- 适用于任意阶微分方程
- 可以在不作仿真图的情况下应用
输入无微分项的情况
对于微分方程：
选择状态变量为相变量：
代入微分方程得：
状态空间模型（能控标准型）：
- 状态方程：
- 输出方程：
输入有微分项的情况
微分方程形式：
其中 为微分算子， 为输出最高阶次， 为输入最高阶次。
写成传递函数（分 和 两种情况）：
情况1：当 时（严格真分式系统）
情况2：当 时（非严格真分式系统，存在直接传递项）
先进行长除法，将传递函数分解为：
其中直接传递项 和修正系数 的关系为：
串联分解：
定义中间变量 ，使得：
则输出可以表示为：
- 当 时：
- 当 时：
红色框中的部分和输入无微分项的结构完全相同，因此可以把 及其各阶导数选成状态变量，得到的状态空间方程也完全相同。
选择状态变量：
状态空间模型：
状态方程（与输入无微分项时相同）：
其中：
输出方程（根据 w 与 n 的关系确定）：
- 当 w < n 时（无直接传递项）：
即 ，此时
- 当 w = n 时（有直接传递项）：
即 ，此时
关键理解：
- ：系统是严格真分式，输入必须经过积分器才能影响输出，无直接通路
- ：系统存在直接传递项 ，输入可以不经过积分器直接影响输出
- 这就是为什么两种情况下输出方程的形式不同！
3. 由传递函数求状态空间的表达式
对角标准型（正则标准型）
基本思想
对角标准型：将传递函数的分母进行因式分解，并将 G(s) 表示为部分分式形式，使得系统矩阵 A 成为对角阵。此时的状态变量称为正则（规范）变量（canonical variables）。
适用条件：系统特征根为各不相同的单根（不存在多重极点）
推导过程
第一步：传递函数的部分分式展开
对于不包含输入微分项的微分方程（）：
对应的传递函数为：
将传递函数的分母进行因式分解；
当不存在多重极点且 时，可以表示为部分分式之和；
也就是将这个传递函数分解为了直接传递项以及若干个一阶环节之和的形式
其中：
- ：系统的第 个极点
- ：第 个极点对应的留数（residue）
- 通常而言系统次数不高，直接因式分解即可，不必使用留数计算
- ：直接传递项（当 时存在）
单个部分分式：
第二步：引入状态变量
采用符号 及其拉普拉斯变换形式 来表示状态变量，以突出对角阵形式中的状态变量。
对于每个部分分式，定义：
即：
转换到时域：
每个一阶环节的状态方程：
每个一阶环节的输出方程：
这里可以观察到：
每个状态变量只和自身以及输入有关；和其它状态变量是解耦的！
第三步：系统总输出
系统的总输出为各部分分式的和：
时域形式：
实际上，系统的总输出就是直接传递项以及若干个一阶环节之和。这是一种并联分解方法。系统总的信号流图如图所示：
第四步：对角标准型状态空间模型
选择状态变量为 ，得到：
状态方程：
即：
其中：
- 为对角矩阵
- （所有元素均为 1）
输出方程（根据 与 的关系）：
- 当 时（，无直接传递项）：
- 当 时（，有直接传递项）：
对角标准型的重要特点
核心优势：
- 状态变量解耦：系统矩阵 （对角阵）意味着各个状态变量之间相互解耦，即各个状态变量 不依赖于其他状态变量，可被独立求解
- 简化计算：这个特点可以简化状态转移矩阵 的计算程序（第三章内容）
- 系统分析：对角型动态方程对系统研究非常有用，特别是在能观性和能控性分析中
- 物理意义：每个状态变量对应一个系统极点，直观反映系统的模态特性
能控标准型（Controllable Standard Form）
矩阵形式：
矩阵也称为 Companion matrix（友矩阵）
友矩阵的重要性质：友矩阵的特征多项式即为
其系数直接对应矩阵最后一行的元素（取相反数），这使得友矩阵形式在极点配置和系统分析中特别有用。
特点：
- 关系式：（除最后一个状态变量外）
- 只与系统矩阵 和控制矩阵 有关
- 便于状态反馈控制器设计
能观标准型（Observable Standard Form）
示例
例题：设控制系统的传递函数为
试求系统的对角标准型状态空间描述。
解：
步骤1：将传递函数化为分母为因式相乘的形式
系统的特征根为
步骤2：进行部分分式展开
利用留数法求各部分分式的系数：
即：
- 极点 ，留数
- 极点 ，留数
- 极点 ，留数
步骤3：写出对角标准型状态空间表达式
因为 ，所以
例题：设控制系统的传递函数为
试求系统的能观标准型和能控标准型的状态空间描述。
方块图⇒状态空间模型
基本步骤：
- 从已知的控制系统方块图中，选择一阶环节的输出变量作为状态变量
- 经直接计算将方块图化为状态变量图
- 从状态变量图得出系统的状态空间表达式
示例步骤：
状态空间模型⇒传递函数
基本公式
对状态空间模型进行拉普拉斯变换：
得到：
解得：
因此传递函数为：
其中：
- ： 的伴随矩阵（adjoint）
- ： 的行列式（determinant）
SISO 与 MIMO 系统
单输入单输出系统（SISO）：
- 和 均为标量
- 称为传递函数
- 和 是向量
多输入多输出系统（MIMO）：
- 和 为向量
- 是矩阵，称为传递函数矩阵。传递函数矩阵拓宽了传递函数的概念
- 和 是矩阵
传递函数矩阵
对于 个输入、 个输出的系统：
其中 表示第 个输入对第 个输出的传递函数。
多变量系统的方块图运算
对于多变量系统，在画方块图时，往往采用带箭头的双线表示信息流向。
注意：多变量系统方块图运算时，必须按照矩阵计算规则进行，乘法的前后次序不能颠倒！（记忆为：逆着箭头的方向乘）
多变量反馈控制系统：
闭环传递函数矩阵的推导
如图所示系统，系统的输出为：
其中误差信号为：
将误差表达式代入输出方程：
展开得：
移项整理：
因此，闭环传递函数矩阵为：
其中：
- 称为开环传递函数矩阵
- 称为闭环传递函数矩阵
注意到：计算时要从输出端开始，逆着箭头方向，顺序不能变换。
计算示例
例A：输入无微分项
已知状态空间描述
求系统传递函数。
解：
计算 ：
计算 ：
计算传递函数：
得到微分方程：
例B：能控标准型，输入有微分项
设一控制系统的动态过程表示为：
式中，、 分别为系统的输入和输出信号，试求系统的传递函数描述。
解：
矩阵形式：
使用传递函数公式：
步骤1：计算
步骤2：计算行列式
按第一列展开：
步骤3：计算伴随矩阵
步骤4：计算
先计算 ：
然后与 相乘，取第三列元素：
步骤5：得到传递函数
系统的微分方程表示为：
例B'：另一种状态变量选取
试由状态空间模型求系统的传递函数描述。
解：
矩阵形式：
使用传递函数公式：
步骤1：计算
由于矩阵 与例B相同，因此：
步骤2：计算行列式（与例B相同）
步骤3：计算伴随矩阵（与例B相同）
步骤4：计算
先计算 ，取第一行：
然后与 相乘：
步骤5：得到传递函数
微分方程：
例B与例B'的比较
例B与例B'代表同一系统的不同状态空间描述
共同点（外部模型）：
- 微分方程相同：
- 传递函数相同：
- 系统矩阵 相同：
- 特征多项式相同：
不同点（内部模型）：
- 状态变量选取不同
- 输入矩阵 不同：
- 例B：
- 例B'：
- 输出矩阵 不同：
- 例B：
- 例B'：
重要结论：
- 状态空间描述不唯一：同一个系统可以有多种不同的状态空间描述，取决于状态变量的选取
- 外部特性唯一：无论选择何种状态变量，系统的传递函数（外部模型）保持不变
- 内部模型不同：不同的状态变量选取导致 和 矩阵不同（内部模型不同）
- 特征多项式不变：由于系统矩阵 相同，特征多项式 保持不变，系统的极点（特征根）相同
- 物理本质相同：不同的状态空间描述只是从不同角度观察同一个物理系统，系统的动态特性本质上是相同的
总结
关键要点：
- 时域和复频域之间的变换：
- 微分方程（时域）和传递函数（复频域）统称为输入输出模型
- 两者时间通过拉式变换唯一转化
- 外部模型和内部模型之间的转化：
- 每个输入输出模型表征一个唯一的外部模型
- 通过选取不同状态变量，得到不同的状态空间模型（内部模型）
- 规定了几种状态变量选取方法，得到了不同的标准型
- e.g. 相变量→能控标准型
- 外部模型是唯一的，但内部模型不是
- 仿真图、信号流图、方块图是表征输入输出模型的不同方式
- 对于仿真图而言：
- 如果将状态变量选为各积分器输出，则得到状态变量图
- 如果将状态变量
