一、时间常数（Time Constant）
1.1 基本概念
暂态项具有指数形式 ，当 （）为负实数时：
时间常数定义：使e的指数部分等于-1的时间值
1.2 几何意义
- 在一个时间常数所对应的时间区间内，指数函数 的值将从 1 下降至 0.368
- 从几何上看， 曲线在 处的切线与时间轴的交点的值等于时间常数
1.3 阻尼振荡情况
当 时，系统暂态响应函数为
对于阻尼正弦情况，时间常数通过表征包络线 的参数 来定义：
其中：
二、时间响应性能指标
2.1 基于系统单位阶跃响应的指标
上升时间 ：
- 衰减振荡过渡过程：0-100%（最终平稳状态）
- 非振荡过渡过程：10-90%（最终平稳状态）
峰值时间 ：
过渡过程曲线达到第一峰值所需的时间
超调量 ：
系统响应最大偏移量（即）与终值之差
调节时间 ：
响应到达并保持在终值 或 内所需的最短时间
衰减比 ：
（同方向相邻两个波峰之比）
- 连续工业生产过程一般希望
延迟时间：
从运动开始第一次达到稳态值的50所需的时间
稳态误差：
过渡过程结束后新的稳态值和给定值之差，是一个稳态性能指标
2.2 基于误差计算的性能指标
通常用来处理最优控制问题（定义一个误差指标然后设法让这个指标变小）
平方误差积分指标 (ISE)
时间乘平方误差积分指标 (ITSE)
绝对误差积分指标 (IAE)
时间乘绝对误差积分指标 (ITAE)
三、一阶系统动态
3.1 一阶系统的标准形式
闭环传递函数：
为什么T就是时间常数？
从数学推导来看：
- 特征方程： → 极点
- 单位阶跃响应：
- 暂态项：，其中
- 根据时间常数定义：
- 代入得：
结论：时间常数 = T
也就是说，标准形式 中的参数 在定义上就直接等于系统的时间常数！
3.2 单位阶跃响应
关键时刻的响应值：
- ：，
- ：
- ：
- ：
- ：
- ：
性能指标：
- 延迟时间：
- 上升时间：
- 调节时间：（5%误差）或 （2%误差）
- 不存在超调量和峰值时间
3.3 单位脉冲响应详解
响应推导
对于标准一阶系统 ，单位脉冲输入
拉普拉斯变换：
输出响应：
逆变换得时域响应：
响应特性分析
关键特性：
- 初始值（）：
这是响应的最大值，时间常数越小，初始响应越大
- 稳态值（）：
- 单调衰减：非周期的单调衰减函数，无振荡
- 稳态误差：
与阶跃响应的关系：脉冲响应是阶跃响应的导数
当 时，即得单位脉冲响应。
3.4 单位斜坡响应详解
响应推导
对于标准一阶系统 ，单位斜坡输入
拉普拉斯变换：
输出响应：
部分分式展开：
逆变换得时域响应：
响应特性分析
稳态响应：
系统输出以斜率为1的直线跟踪输入，但始终滞后一个时间常数
稳态误差：
一阶系统对斜坡输入存在恒定稳态误差，误差大小等于时间常数
响应曲线特征
- 输入曲线 为通过原点的直线
- 输出曲线 初始段为指数上升，最终平行于输入曲线
- 两条曲线的垂直距离趋于时间常数
- 在 处，输出曲线的切线与时间轴交点为
- 在 处，误差为
3.5 典型输入响应规律总结
微分/积分关系：
线性系统对输入信号导数（积分）的响应，可通过系统对输入信号的响应进行微分（积分）求得（积分常数由零初始条件决定）
输入微分关系链：
响应微分关系链：
输入类型 | 输入函数 | 拉普拉斯变换 | 系统响应（） | 稳态误差 |
单位脉冲 | ||||
单位阶跃 | ||||
单位斜坡 | ||||
单位抛物线 |
稳态误差规律：
对于一阶系统：
- 脉冲输入：无稳态误差
- 阶跃输入：存在有限稳态误差（取决于系统增益）
- 斜坡输入：存在恒定稳态误差（等于时间常数）
- 抛物线输入：稳态误差趋于无穷
结论：输入信号越"复杂"（阶次越高），系统的跟踪能力越差
3.6 一阶闭环系统的重要性质
重要结论：由一阶对象组成的单位负反馈闭环系统仍然是一个一阶系统，只是系统增益和时间常数变小，为原值的
推导过程：
设原一阶对象的传递函数为：
在单位负反馈下，闭环传递函数为：
整理得：
其中：
物理意义：
- 引入负反馈后，系统稳态增益减小（从 降为 ）
- 系统响应速度加快（时间常数从 降为 ）
- 系统仍保持一阶特性，不会出现超调
单位阶跃响应的详细分析：
对于单位阶跃输入 ，拉普拉斯变换
闭环系统输出：
部分分式展开并逆变换得：
系统的稳态值为：
对于单位阶跃输入，期望输出为 1，因此稳态误差为：
开环系统 ()：
- 时间常数：
- 稳态值：
- 调节时间： 或
- 若 ，无稳态误差
闭环系统 ()：
- 时间常数： ✓ 更快
- 稳态值： ✗ 有误差
- 调节时间： ✓ 更短
- 但始终存在稳态误差
可以通过添加控制器来改善系统的稳态表现
添加比例控制器
相当于增大了 ，只能减小误差而不能消除
利用控制器
控制器传递函数：
被控对象：
其中，定义 （综合增益）
闭环传递函数：
整理得：
【单位阶跃响应分析】
当 为单位阶跃函数时，系统输出的拉普拉斯变换为：
增加积分环节的效果：
在S平面上增加一个零点和一个极点（位于原点除外的位置）
【稳态误差计算】
如果 在右半平面和虚轴（原点除外）无极点，可以利用终值定理求解稳态：
代入计算：
因此，稳态误差为：
重要结论：
通过引入PI控制器（积分环节），系统对单位阶跃输入的稳态误差被完全消除！
- P控制器：只能减小稳态误差（）
- PI控制器：能够消除稳态误差（）
这是因为积分环节使系统从0型系统提升为I型系统，对阶跃输入具有无静差特性。
四、二阶系统动态
4.1 标准二阶系统
标准形式：
具有标准形式的二阶系统可以用下图所示的单位反馈系统表示：
系统的闭环传递函数：
其中：
- ：阻尼比（无量纲）
- ：自然频率
- ：阻尼振荡频率（damped oscillation frequency），
特征方程的根：
4.2 不同阻尼情况的响应特性（单位阶跃）
四种响应类型：
- ：纯虚根，等幅振荡响应（临界稳定）
- ：共轭复根，欠阻尼响应
- ：相等实根，临界阻尼响应
- ：不等实根，过阻尼响应
4.2.1 过阻尼响应 ()
系统有两个不同的实根：
单位阶跃响应：
特点：单调上升，无振荡，无超调；存在拐点，也就是二阶导数等于零的点（一阶系统的响应斜率是单调减少的）
4.2.2 临界阻尼响应 ()
系统有两个相等的实根：
单位阶跃响应：
特点：不产生振荡的最快响应
4.2.3 欠阻尼响应（）
在这种情况下，系统传递函数为：
单位阶跃响应推导：
如果系统输入为单位阶跃函数，则等初始条件下系统响应的传递函数为：
是阻尼振荡频率（damped oscillation frequency）。
具体定义为：
进行拉普拉斯逆变换：
整理为标准形式：
响应特性分析：
衰减振荡过程，其振荡频率为有阻尼振荡频率 ，而其幅值则按指数曲线（响应曲线的包络线）衰减，两者均由参数阻尼比 和自然频率 决定。
包络线：
阻尼振荡频率：
系统误差信号
系统误差信号为：
稳态误差：
当 ， 时，系统误差（即稳态误差）为：
4.2.4 无阻尼响应 ()
特殊情况：当 时
当 时，系统阶跃响应无阻尼，因此响应曲线以自然频率 作等幅振荡：
系统有纯虚根：
特点：等幅振荡，临界稳定
4.2.5 不同阻尼比下的响应对比
重要结论：
由二阶对象组成的单位反馈闭环系统仍然是二阶系统
五、欠阻尼二阶系统的动态性能指标
5.1 单位阶跃响应
其中：
- 包络线：
- 阻尼振荡频率：
5.2 关键性能指标公式
峰值时间
系统响应第一次达到峰值所需的时间，反映系统反应的灵敏度， 越小表示系统反应越灵敏
通过导数等于零求出峰值时间；这个时间就由正弦分量的峰值时间决定
- 仅取决于阻尼振荡频率 ，也就是只和特征根的虚部有关
- 一定时， 越小， 越小（响应越快）
超调量
响应超出稳态值的最大偏离程度，表征系统阻尼程度，超调量越大说明系统振荡越严重
代入此前所求出的峰值时间即可求出超调量：
- 完全由 决定
- 时，
- 时，
- 实际系统中， 一般在 0.5~0.8 之间
上升时间
响应从零（或10%）上升到稳态值（或90%）所需的时间，反映系统响应速度，上升时间越短说明系统反应越快
精确公式：
其中
近似公式：
对于 ：
调节时间
响应进入并保持在稳态值±5%（或±2%）误差带内所需的时间，衡量系统达到稳定的快慢，调节时间越短说明系统越快进入稳态
近似公式：
5%误差：
2%误差：
重要性质：调节时间仅取决于复数共轭极点的实部
衰减比
同方向相邻两个波峰的比值，表征振荡衰减的快慢，衰减比越大说明振荡衰减越快
将第一个和第三个极值的时间代入计算
- 与阻尼比 一一对应
- 一般希望
稳态误差
对于稳定系统，利用终值定理：
其中 是误差传递函数。
注意：只有稳定系统才有稳态误差的概念！
5.3 S平面上的性能指标线
- 等线：从原点出发的射线，角度
- 等线：以原点为圆心的圆
- 等线（等线）：垂直于实轴的直线
- 等线：平行于实轴的直线
5.4 参数选择原则
峰值时间 和超调量 之间有相互矛盾的关系。参数选择时需要考虑两者的折中：
设计指导原则：
- 先根据超调量要求选择
- 完全由 决定
- 实际系统常取
- 再根据速度要求选择
- 当 一定，增大 可使 、 和 都减小
- 当 一定，减小 可使 和 减小，但需增大 以减小
- 峰值时间与超调量的折中
- 两者具有相互矛盾的关系
- 需要在参数选择时权衡
七、综合应用示例
例1：参数设计
例3：由单位阶跃响应反推参数
问题描述：
设某一单位负反馈二阶系统的阶跃响应曲线如图示，试确定此系统的开环传递函数。
已知信息：
- 输入：幅值为10的阶跃信号
- 响应峰值：
- 峰值时间：
提示公式：
解答步骤
步骤1：由图直接读取数据
从响应曲线可以得到：
- 稳态值：
- 峰值：
- 峰值时间：
步骤2：计算超调量
步骤3：由超调量求阻尼比
利用公式：
解得：
步骤4：由峰值时间求自然频率
利用公式：
代入 ：
步骤5：确定系统开环传递函数
对于单位负反馈二阶系统，闭环传递函数为：
对于单位负反馈系统，开环传递函数可以表示为：
代入参数：
例4 比例环节➕二阶环节
