稳定性概念
💡 稳定性是控制系统最重要的问题，也是对系统最基本的要求。
稳定性的定义
线性控制系统在初始扰动的影响下，动态过程随时间推移逐渐衰减并趋于零（原平衡工作点），则称系统渐近稳定，简称稳定；反之，若在初始扰动影响下，系统动态过程随时间推移而发散，则称系统不稳定。
稳定性的充要条件
⚠️ 线性定常系统稳定的充分必要条件：系统传递函数的所有极点均具有负实部。
换句话说，系统的特征方程的所有根都必须位于复平面左半平面。
系统响应特性
对于二阶系统特征方程 ，特征根为：
- 稳定：，极点在左半平面，响应衰减振荡
- 临界稳定：，极点在虚轴上，响应等幅振荡
- 不稳定： 或 ，极点在右半平面，响应发散
稳定性判别方法
方法分类
1. 直接计算特征根
令特征多项式（闭环传递函数的分母）等于零，计算出系统的极点。
2. 不直接计算特征根的方法
根据系统特征方程：
- 劳斯-赫尔维茨判据（Routh-Hurwitz Criterion）
- 根轨迹法（Root Locus）
根据系统开环传递函数：
- 奈奎斯特判据（Nyquist Criterion）
3. 非线性系统
对于一般的非线性系统（线性系统为非线性系统的特例），可以利用李亚普诺夫稳定性理论来判别系统的稳定性。
稳定性判别的必要不充分条件
基本原理
考虑 阶系统的闭环传递函数，其特征多项式为：
将 写成因式相乘形式（ 为系统特征根）：
展开后可以看出：
- 系数 包含所有特征根之和：
- 系数 包含所有两个特征根的乘积：
- 系数 包含所有三个特征根的乘积：
- ……
稳定的必要条件
📌 如果所有特征根均位于 平面的左半平面，则：
- 特征多项式的所有系数均有相同的符号
- 所有系数均为非零常数
这些条件是系统稳定的必要但非充分条件。
例：
- → 不稳定（不满足第二个条件，一次项系数为零）
- → 不能判断（上述两个条件均满足）
劳斯稳定性判据（充要 ）
劳斯判据给出了判定系统稳定性的充分必要条件
步骤 1：排列系数
将系统特征多项式 的系数排列成如下阵列：
步骤 2：计算劳斯阵列
继续计算后续行的元素。完整的劳斯阵列结构如下：
劳斯阵列每一行的元素，都通过上两行对应列元素的行列式（交叉相减）来计算。
第三行（ 行）的计算
计算模式：用第一行和第二行的首列元素及对应列元素构成 2×2 行列式，再除以第二行首列元素（即 ）。
第四行（ 行）的计算（同理）
连续运算，直到所有的 d 式都计算完成，余下的 d 式都为零：
持续这个递推过程，用刚算出的一行和它上一行，按照相同规则计算下一行，直到计算到 行为止。
⚠️ 注意：劳斯阵列中， 和 行都只包含一项。
步骤 3：判别稳定性
⭐ 劳斯判据：特征方程根中，具有正实部的根的个数，等于劳斯阵列中第一列元素符号变化的次数。
充要条件：对于稳定系统，劳斯阵列的第一列元素必须没有符号变化（所有元素同号）。
劳斯阵列的特殊情况
情况 1：首列无零元素（普通情况）
直接按照步骤进行判别。
例 1：Basics
例2：二阶系统的稳定性判据
二阶系统的特征多项式为：
劳斯阵列为：
其中，
结论：二阶系统稳定的充分必要条件是，特征多项式的所有系数都具有相同的符号。
💡 这说明对于二阶系统，只需检查系数符号的一致性，无需完整计算劳斯阵列。
例3：三阶系统的稳定性判据
三阶系统的特征多项式为：
劳斯阵列为：
其中，
结论：三阶系统稳定的充分必要条件是，特征多项式所有系数均为正数，且有
💡 三阶系统的稳定性除了要求所有系数同号外，还需额外满足 的条件，即 。
例5：设计问题——求参数稳定范围
问题：考虑具有如下特征多项式的三阶系统，求取使系统稳定的 值范围。
劳斯阵列为：
分析：对于三阶系统，如果系统稳定，则要满足：
即：
同时，劳斯阵列第一列所有元素必须同号（为正），因此还需满足：
结论：当 且 ，即 时，系统稳定。
例6：应用定理简化计算
问题：判定如下系统是否稳定，系统特征多项式为：
劳斯阵列构造过程：
🔧 定理1： 劳斯阵列的任意一行元素可以同时乘以或除以一个正数，不会改变首列元素的符号。
首列元素符号变化2次（从到，再从到），说明有2个特征根位于平面的右半平面。
结论：系统不稳定。
💡 此例充分展示了定理1的实用价值：通过对某些行进行适当的缩放，可以大大简化劳斯阵列的计算过程，而不影响稳定性判定结果。
情况 2：首列有零元素
当某一行第一列元素为零，但该行其他元素非零时，有三种处理方法：
方法 1：用一个很小的正数 代替这个 0 元素，然后继续计算其他元素。
方法 2：将 代入原方程，重新整理特征多项式。
方法 3：将原特征多项式乘以因式 。
本质是给系统添加一个稳定的极点，显然这一操作不会改变系统的稳定性
例7：应用方法3处理首列零元素
问题：判定如下系统是否稳定，系统特征多项式为：
原始劳斯阵列：
发现 行第一列元素为 0，但该行其他元素非零。
应用方法3处理：
将原特征多项式乘以因式 ，并重新整理特征多项式：
新的劳斯阵列：
稳定性分析：
观察新劳斯阵列第一列元素的符号：
符号序列为：
首列元素符号变化2次（从 到 ，再从 到 ），说明有2个特征根位于 S 平面的右半平面。
结论：符号变化了2次，系统不稳定，且有2个极点位于 S 平面的右半平面。
💡 方法3的优势：乘以 相当于给系统添加一个稳定的极点（在 处），不会改变原系统的稳定性。这种方法能有效避免劳斯阵列首列出现零元素的问题。
情况 3：某一行元素全为零
如果劳斯阵列的第 行（ 对应的行）元素全为零，说明系统特征方程具有对称于原点的实根或复根，且具有如下形式：
- （一对位于原点的根）
- （对称的实根）
- （对称的虚根）
- （对称的复根）
系统肯定是不稳定的。但是如果想知道右半平面极点的个数，需要进一步计算劳斯阵列：
处理步骤：
- 根据该行的上一非零行构造辅助多项式
如果劳斯阵列的第 行（ 对应的行）元素全为零，根据该行的上一非零行构造如下的辅助多项式：
其中， 是上一非零行的系数，辅助多项式 的阶次为对称特征根的个数。
这个辅助函数的根就是系统的极点！（未加证明, take as granted）
- 将原劳斯阵列表中第 行元素替换为辅助多项式关于 的导函数的系数
- 继续完成劳斯阵列表
例9：全零行
劳斯判据的应用
1. 判别系统稳定性
通过劳斯阵列第一列的符号变化次数，判断系统是否稳定以及有几个不稳定极点。
2. 确定参数范围
对于含有可调参数的系统，可以利用劳斯判据确定使系统稳定的参数取值范围。
3. 相对稳定性分析
劳斯判据不仅可以判别系统是否稳定（绝对稳定性），而且也可检验系统是否有一定的稳定裕量（相对稳定性）。
稳定裕量检验
令
即把虚轴左移 。将上式代入系统的特征方程式，得到以 为变量的新特征方程式。
若新特征方程的所有根均在新虚轴的左边（新劳斯阵列式第一列均为正数），则称系统具有稳定裕量 σ。
这意味着系统的所有极点都至少距离虚轴有 的距离。
应用：判断系统衰减速度
通过检验不同的 值，可以：
- 评估系统的稳定程度
- 判断系统的响应速度
- 优化系统参数设计
例10：检验有几个根在直线 的右边
问题：检验特征方程式
是否有根在右半平面，并检验有几个根在直线 的右边。
解：劳斯阵列为
第一列无符号改变，故所有根在左半平面，再令 ，代入原特征方程式，得：
展开后得到新的特征方程：
新的劳斯阵列为：
分析：从表中可看出，第一列符号改变一次（从 到 ），故有一个根在直线 的右边（即新坐标系虚轴的右边），因此稳定裕量不到1。
例12：综合应用——等幅振荡与稳定裕量
问题：设单位负反馈系统的开环传递函数为
试确定：
- 系统产生等幅振荡的 值及相应的振荡角频率。
- 全部闭环极点位于 垂直线左侧时的 取值范围。
解：
1) 确定等幅振荡条件
闭环特征方程为
劳斯阵列为：
或由三阶系统稳定条件：
即
等幅振荡条件： 行全为0，即
得
振荡频率：辅助多项式
代入 ：
解得特征根：
因此，振荡角频率为
2) 确定稳定裕量条件
令 ，代入原特征方程式，得：
展开后得到新的特征方程：
新的劳斯阵列为：
或由必要条件：
由三阶系统稳定条件：
即
稳定性条件：新劳斯阵列第一列元素均为正数，需满足：
- 且
解得：
结论：若取 ，全部闭环极点位于 垂直线左侧。
开环稳定性与闭环稳定性
⚠️ 重要提示：开环稳定不等于闭环稳定，闭环稳定也不等于开环稳定。
示例
