信号流图概述
核心思想：信号流图（Signal Flow Graph, SFG）是一种图形化表示线性方程组的方法，通过梅逊增益公式可以直接求得系统传递函数，无需繁琐的方块图化简。
定义
信号流图是由节点和支路组成的信号传递网络，用于表示一组联立方程。
An SFG is a diagram that represents a set of simultaneous equations.
关键元素：
- 节点：表示系统中的变量/所有输入信号的加和
- 支路：连接两个节点的有向线段，表示传递函数或增益
- 支路增益：置于支路上的传递函数 或增益
基本关系式：
节点类型
三种节点
- 源节点（输入节点）
- 只有流出支路
- 表示系统的输入变量
- 独立节点
- 阱节点（输出节点）
- 只有流入支路
- 表示系统的输出变量
- 非独立节点
- 混合节点（一般节点）
- 既有流入支路又有流出支路
- 表示相加点、分支点
- 作用：
- 对所有流入支路的信号作加法运算
- 将流入信号之和传输给所有流出支路
信号流图基本术语
通路（Path）
由任意具有相同方向的支路顺序连接构成的支路序列。
- 通路增益：通路中各支路增益的乘积
- 注意：通路增益可正可负
前向通路（Forward Path）
从输入节点（源节点）开始并终止于输出节点（阱节点）且与其它节点相交不多于一次的通路。
- 前向通路增益 ：该通路的各增益乘积
回路（Loop）
通路的终点就是通路的起点，并且与任何其它节点相交不多于一次的通路。
- 回路增益 ：回路中各支路增益的乘积
- 在回路增益中应包含代表反馈极性的正、负符号
不接触回路
各回路之间没有任何公共节点，则称为不接触回路，反之称为接触回路。
信号流图代数
基本变换规则
1. 串联通路
两个串联支路可合并为一个支路，增益为两者之积：
原始图：
等效图：
2. 并联通路
多个并联支路可合并为一个支路，增益为各支路增益之和：
原始图：
等效图：
3. 反馈环
等效传递函数：
其中 为回路增益（负反馈时为 ）
4. 节点消除
混合节点可以通过代数运算消除，将流入和流出支路重新连接。
信号流图（SFG）分析
从代数方程到信号流图
信号流图是表示一组联立方程的图形化工具。
示例：两个代数方程的信号流图
考虑如下方程组：
整理为标准形式：
矩阵形式：
一般复杂系统的信号流图表示
对于任意复杂系统，其SFG的标准形式如下：
重要约定：所有的源节点在系统框图左边，而所有的阱节点在系统框图右边。
总传输增益的计算
内部节点的作用效果可以通过普通的代数处理过程用因子相乘的形式表示出来，从而得到等效图。
等效传输增益：
其中， 为相应源节点和阱节点之间的总传输增益。
等效关系式：
基于叠加原理的分析
对于线性系统，可以利用叠加原理求解由信号流图表示的系统输出。
分析步骤：
- 每次考虑一个源节点的作用
- 求出相应的输出信号
- 系统总的输出信号是各输入作用下系统输出信号之和
传输增益的获取方法
方法一：线性代数处理
- 传输增益可以通过线性代数处理方法获得
- 适用于方程组形式明确的情况
方法二：直接根据SFG分析
- 也可以直接根据 SFG 进行分析获得相同的结果
- 利用梅逊增益公式等图论方法
信号流图分析的优势
对于由大量线性方程描述的系统，可以通过"观察"SFG 求得系统输出信号。在这种情况下，信号流图分析方法将有很大的优势。
主要优势：
- ✅ 避免繁琐的方块图化简
- ✅ 系统化处理多变量系统
- ✅ 便于识别系统结构特性
- ✅ 适合大规模系统分析
信号流图的建立方式
信号流图可以通过两种方式建立：
1. 从微分方程绘制
根据系统的微分方程直接绘制信号流图
2. 从方块图转换
由系统结构图（方块图）按照对应关系得出
方块图与信号流图的对应关系：
方块图元素 | 信号流图元素 |
输入 | 源节点 |
引出点 / 相加点 / 信号线 | 混合节点 |
方框（传递函数） | 支路（支路增益） |
输出 | 阱节点 |
梅逊增益公式（Mason's Gain Rule）
梅逊公式是求解系统传递函数的通用方法，由 Samuel Jefferson Mason（1921-1974）于1956年提出。
公式表达式
系统总传输增益为：
其中：
- ：从输入节点到输出节点所有前向通路的条数
- ：从输入节点到输出节点第 条前向通路的增益
- ：信号流图特征式
- ：信号流图余因子式（特征式中除去与第 条前向通路相接触的回路增益项）
特征式 Δ 的计算
其中：
- ：单独回路的回路增益
- ：所有单独回路的回路增益之和
- ：两个互不接触回路的回路增益的乘积
- ：每两个互不接触回路的回路增益乘积之和
- ：三个互不接触回路的回路增益的乘积
- ：所有三个互不接触回路的回路增益乘积之和
- 以此类推……
余因子式 Δᵢ 的计算
在原本计算的公式中，去除所有和该支路相接触的项
重要规则：
- 当前向通道接触所有的回路时，
- 当前向通道不接触所有的回路时，
应用梅逊公式的步骤
典型例题
例1：单回路系统
解题步骤：
系统的信号流图如下图所示：
回路：
所有回路都相互接触！
特征式：
前向通路：
- ，
- ，
系统传递函数：
例2：多回路系统
解答
回路：
不接触回路：
特征式：
前向通路：
- ，
- ，
系统传递函数：
例3：复杂RC电路
解答
回路（5个）：
不接触回路（6组）：
三个互不接触回路（1组）：
特征式：
前向通路：
系统传递函数：
例4：两路径交互系统
解答
回路（4个）：
不接触回路（4组）：
特征式：
前向通路（2条）：
- 与回路 和 不接触
- 与回路 和 不接触
系统传递函数：
例5：多回路系统
解答
前向通路（3条）：
回路（8个）：
不接触回路（3组）：
特征式：
余因子式：
- 接触所有回路，
- 与回路 不接触，
- 接触所有回路，
系统传递函数：
例6：方块图化简与梅逊公式对比
本题展示方块图化简法与梅逊增益公式两种方法的对比。
方法一：方块图化简法
经过多步化简得到：
方法二：梅逊增益公式
回路、前向通道太多了！！！
结论：回路、前向通路过多，手算时使用方块图化简会更简单
例7：正反馈系统
本题包含正反馈回路，注意回路增益的符号处理。
方法一：方块图化简法
处理左侧正反馈回路：
闭环传递函数：
代入得：
方法二：梅逊增益公式
回路：
- （正反馈）
特征式：
前向通路：
- （去除与前向通路接触的回路 ）
系统传递函数：
验证：两种方法结果一致，且都较为简便
