非线性环节的线性化处理
为什么需要线性化？
核心问题：大多数物理系统本质上都是非线性系统，但非线性系统难以分析。线性化后可以应用线性叠加原理，大大简化分析过程。
非线性系统的特点
- 通常用一般的非线性微分方程描述：
- 例如：滴定曲线、电机转矩特性曲线等都呈现高度非线性
线性化的基本原理
核心思想：研究非线性系统在某一工作点（平衡点）附近的性能，用平衡点附近的直线代替曲线。
泰勒级数展开法
设非线性函数 ，在平衡点 的邻域内，可展开为泰勒级数：
其中：
- 和 为原平衡点
- 为偏移量
- 为平衡点处的斜率
线性化近似
忽略二阶及以上高阶项，得到线性化方程：
或写成偏移量形式：
适用条件：偏移量 越小，线性化结果越准确。不同平衡点有不同的 值。
线性化应用实例
例1：交流伺服电机
系统描述：
- 输入：控制电压
- 输出：角速度
- 非线性关系：
建模步骤：
- 平衡方程（非线性系统）：
- 动态方程（含扰动）：
- 减去平衡方程，得：
- 泰勒级数线性化：
令 ，
- 最终线性化模型：
【插入图片：线性化过程的框图表示】
例2：钟摆系统
系统描述：
- 输入：外力
- 输出：摆角
- 非线性方程：
线性化：
当 较小（如 ）时，，得到线性化模型：
线性化误差：摆角越大，线性化误差越大。对比动画显示，小摆角时线性模型与非线性模型吻合良好，大摆角时偏差明显。
【插入图片：线性化模型与非线性模型的对比（小摆角vs大摆角）】
例3：液位系统
系统描述：流出量同时与液位 和阀门流通面积 相关：
【插入图片：液位系统示意图】
泰勒级数展开（在平衡点 附近）：
计算偏导数：
简化为：
其中：
- ：液位变化引起流出量的变化
- ：阀门开度变化引起流出量的变化
线性化步骤总结
建立系统线性化微分方程的步骤：
- 确定平衡点：找出系统处于平衡状态时各元件的工作点
- 列偏移量方程：列出各元件在工作点附近的偏移量方程式，消去中间变量
- 得到线性化方程：得到整个系统以偏移量表示的线性化方程式
特殊环节的建模
1. 纯滞后（Time Delay）
定义
纯滞后：输入变量改变后，输出变量并不立即改变，而是要过一段时间 才开始变化的现象。
数学模型
时域表示：
传递函数：
应用示例：溶解槽
- 输入流量 从料斗流入传送带
- 经过距离 ，速度 ，纯滞后时间
- 输出流量
一阶+纯滞后系统
许多工业对象可近似为一阶惯性环节+纯滞后：
微分方程：
传递函数：
阶跃响应：
【插入图片：一阶+纯滞后系统的阶跃响应曲线，标注 和 】
应用：直接蒸汽加热器
系统描述：
- 控制蒸汽流量 来调节出口液体温度
- 考虑蒸汽阀到加热器入口的距离产生时滞
【插入图片：直接蒸汽加热器示意图】
微分方程：
传递函数（调节通道）：
- 无时滞：
- 有时滞：
2. 分布参数（Distributed Parameter）
定义
分布参数对象：被控变量与物理空间位置分布相关，建模时采用偏微分方程描述。
应用示例：金属壁传热
物理模型：
- 金属平板，面积 ，壁厚方向热量传递
- 两侧壁面温度：、
- 壁内温度：（随时间和空间变化）
【插入图片：金属壁传热原理示意图，标注薄层XY和温度梯度】
能量平衡（薄层XY）：
输入热量：
输出热量：
积聚热量：
偏微分方程模型：
其中 为导热系数（W/(m·K)）
3. 积分环节
定义
积分特性：只要有一个增量不为零的输入作用于对象，其输出就会无限制地增加；只有当输入增量为零时，输出才会稳定在某个值上。
应用示例：储槽液位控制
系统描述：
- 出口装有正位移泵（流量恒定）
- 液位变化仅与注入流量 相关
微分方程：
传递函数：
阶跃响应：输入阶跃信号后，液位呈线性上升，直到输入恢复为零。
4. 高阶系统
定义
一般称三阶或更高阶的方程为高阶方程，相应的对象称为高阶对象。
降阶近似
工程简化策略：
- 对于稳定系统，高阶系统的单位阶跃响应与二阶系统相似
- 常用一阶+纯滞后近似二阶或更高阶对象
近似传递函数：
其中：
- ：等效纯滞后时间
- ：等效时间常数
- ：稳态增益
通过阶跃响应曲线的切线法可确定这些参数。
控制系统其他环节的数学模型
很多情况下在控制系统设计时，可以将执行机构、测量元件与对象考虑在一起，成为广义对象
控制器（Controller）
控制器是建立在计算机中的虚拟的算法；而执行机构、被控对象、测量元件等都是真实存在的物理结构，需要对他们的行为进行数学建模
PID控制器
PID控制：控制器输出是对偏差 进行比例（P）、积分（I）和微分（D）的综合。
时域表达式：
传递函数：
离散化形式（用于数字控制）：
测量元件（Sensor）
示例：热电阻测温元件
原理：热电阻阻值 与温度 存在一一对应关系。
无保护套管（一阶系统）：
有保护套管（二阶系统）：
其中：
- ，：时间常数
- ，：热阻
- ，：热容
执行机构（Actuator）
示例：薄膜式气动控制阀
结构：
- 上部：薄膜式气室、刚性弹簧
- 下部：阀体
数学模型：
若阀体呈线性特性，，则：
简化为一阶系统：
若 小到可忽略，近似为比例环节：
小结
关键要点：
- 线性化：用泰勒级数展开，保留一阶项，在小偏移量范围内有效
- 纯滞后：，常见于传输过程
- 分布参数：用偏微分方程描述，如热传导
- 积分环节：，输出无限增长直到输入为零
- 高阶系统：可用一阶+纯滞后近似
- 各环节建模方法本质相同：都基于物理定律（能量守恒、牛顿定律等）
有了控制系统各环节的数学模型，就可以基于模型（微分方程、传递函数、状态方程等）进行系统整体分析与控制系统设计。
