机械动力学系统基础
核心原理
机械系统遵循牛顿定律（惯性系），即作用力与反作用力相等：
其中： 是外力之和， 是质量， 是速度， 是动量， 是加速度， 是位移
三大基本单元
机械传递系统包括三种基本单元：
1. 质量块（Mass）—— 惯性元件
- 物理特性：表现为惯性力
- 力学方程：
- 能量函数：（动能）
- 对应电路元件：电感
2. 弹簧（Spring/Elastance）—— 弹性元件
- 物理特性：根据两端点相对位置产生回复力（弹性力）
- 力学方程：
- 一般形式：
- 当 时：
- 能量函数：（弹性势能）
- 对应电路元件：电容
3. 阻尼器（Damping）—— 耗能元件
- 物理特性：表征能量吸收，产生阻尼力
- 力学方程：
- 阻尼力特点：正比于两端速度差
- 对应电路元件：电阻
重要说明：
- 质量块 ：所受外力可以不等，外力差令 产生加速度；两端运动状态变量（位移、速度）相等（刚体）
- 弹簧 和阻尼 ：所受外力和为零（无质量元件）；两端运动状态变量可以不等
阻尼器详解
阻尼器的基本构造
阻尼器由外罩、活塞和不可压缩流体组成。当外力 作用于推杆时，活塞在流体中运动产生阻尼力。
关键问题：阻尼系数 同什么因素相关？
- 流体粘度
- 活塞与外罩间隙
- 活塞面积
阻尼器应用实例
系统方程列写方法
节点法（类比电路节点方程）
核心思想：
- 确定待分析的节点（位置）和参考点
- 针对每个节点列写合力方程
- 各节点的合力为零（类似电路中节点电流和为零）
- 力对应于电流，位移对应于电压
节点选择准则
从受力关系上，所选节点和参考点能够把所有的 、 及外力隔离开，即任意两节点（包括节点与参考点）之间不存在物理上串联的 、 及外力。
经典案例：弹簧-质量-阻尼系统
系统描述
系统初始为静止状态，外力 作用于质量 ， 产生位移 。
假设条件：
- 表面光滑（理想无摩擦）
- 弹簧无质量
- 没有其他形变
建模步骤
第一步：列写原始系统方程
其中：
- —— 阻尼器阻力
- —— 弹簧回复力
第二步：列写子系统方程
阻尼器：
其中 是阻尼系数
弹簧：
假设弹簧具有线性弹性性质（ 为常数）
第三步：代入得到系统微分方程
标准化形式（除以 ）：
定义时间常数：
- （质量时间常数）
- （阻尼时间常数）
最终微分方程模型：
其中 是系统输出与输入的静态比（稳态增益）
机械网络图
系统可改画为以节点 为中心的机械网络图：
由力的平衡关系：
机械网络图作图原则：
- 速度表征电压；力表征电流；
- 根据上述原则画电路的串并联以及短路关系
- 速度相同的点短接；速度相同的物体两端电压相同
- 根据受力分析做出串并联（电流的流向）
电路类比
将外加力视为"电流源"，将位移的导数"速度"视为电压：
节点电流方程：
变换后得到：
机械-电路对应关系：
- 力 ↔ 电流
- 速度 ↔ 电压
- 质量 ↔ 电感
- 弹簧 ↔ 电容倒数
- 阻尼 ↔ 电阻
传递函数
对微分方程进行拉普拉斯变换（零初始条件）：
系统传递函数：
标准化形式：
状态空间模型
系统包含 2个储能元件（质量 、弹簧），需要 2 个状态变量（因为是二阶系统）。
选择状态变量：
- （位移）
- （速度）
输入：
输出：
状态方程：
输出方程：
进阶案例：简单机械系统
系统描述
- 与地面无摩擦
- 弹簧左端受外力
- 和 之间是刚性连接
- 弹簧力通过弹簧传递到 点
节点定义
定义两个节点：
- 节点 ：位移
- 节点 ：位移
- 参考点：地面（位移为 0）
系统方程
节点 a：
节点 b：
输入-输出关系
- 关系
从节点 a：
从节点 b：
联立消去 ：
传递函数形式：
- 关系
传递函数形式：
- 关系
传递函数形式：
重要观察：
最后一个传递函数是前两个传递函数的串联积，体现了系统的级联特性！
状态空间模型
选择状态变量（根据节点 b 的方程）：
输入：
从 ：
状态方程：
输出方程：
复杂案例：多单元机械系统
系统描述
[插入图片：图(a) 多单元机械传递系统]
系统包含：
- 两个质量块：、
- 两个弹簧：、
- 三个阻尼器：、、
外力 作用于质量 ，考虑表面存在滑动摩擦 、。
节点定义
- 节点 ：位移 （ 的位置）
- 节点 ：位移 （ 的位置）
- 参考点：地面
[插入图片：图(b) 相应的机械网络图]
系统方程（节点法）
节点方程规则（类似电路节点方程）：
每个节点的合力为零，系统可使用节点方程规则进行列写
节点 a：
节点 b：
状态空间模型
系统包含 4 个储能单元（、、、），需要 4 个状态变量。
选择状态变量：
- （与 相关）
- （与 相关）
- （与 相关）
- （与 相关）
输入：
输出：
从节点方程可得：
状态方程：
输出方程：
常用储能元件对比
储能元件 | 能量 | 物理变量 | 电路类比 |
电容 | 电压 | 电容 | |
电感 | 电流 | 电感 | |
质量 | 传递速度 | 电感 | |
弹簧 | 位移 | 电容倒数 |
建模方法总结
微分方程列写步骤
- 在系统结构示意图上确定待分析的节点（包括节点数及其位置）和参考点
- 节点：运动状态可变的位置
- 准则：所选节点和参考点能够把所有的 、 及外力隔离开
- 针对选定的各节点（参考点除外），列写合力方程
- 各节点的合力为零
- 类似于电路中的节点方程（力对应电流）
- 将各元件的运动方程代入合力方程
机械网络图作图步骤
- 根据系统结构示意图确定待分析节点（节点表示某实际节点的位移）、参考点
- 针对各节点分析受力关系
- 根据受力关系，将各 、 放到与其相连的两个节点（包括节点与参考点）之间
- 将 放到与其相连的节点与参考点之间
- 将外力 放到与其相连的节点与参考点之间
单元特性对比
机械传递系统单元的受力与运动特点：
受力特点：
- ：所受的外力可以不等，外力差令 产生加速度
- 、：所受的外力和为零（无质量元件）
运动特点：
- ：两端运动状态变量（位移、速度）相等
- 、：两端运动状态变量可以不等
