准静态电磁场定义
对于低频电磁场，基于工程分析的观点，如果可忽略麦克斯韦方程组中的 或 的作用，以简化分析计算，称为准静态电磁场。它具有静态场的某些特征。
- 动态电磁场根据忽略的项不同，区分为：
- 电准静态场 (Electroquasistatic field, EQS)：忽略感应电场项
- 磁准静态场 (Magnetoquasistatic field, MQS)：忽略位移电流项
准静态场都需要是低频的，这几乎是必要条件。如果在低频的条件下， 或 的作用可以别忽略，则得到EQS/MQS。
4.5.1 电准静态场和磁准静态场
1. 电准静态场 (Electroquasistatic field, EQS)
(1) 电准静态场条件
时变电场由电荷和变化的磁场产生。当感应电场远小于库仑电场时 ()，可忽略 的影响，称为电准静态场。
激励源的频率较低？？？
(2) EQS基本方程
- 电场方程 (与静电场相同，为有源无旋场):
- 磁场方程:
计算特点：
电场的计算独立于磁场，而磁场的计算则需考虑变化电场的影响。
先计算电场，然后再计算磁场。
(3) 导出关系
由 ，可引入标量电位 :
泊松方程:
电荷守恒定律 (连续性方程):
(由 和 及 导出)
(4) 场量积分关系 (了解)
- 电场强度 :
(与静电场表达式一致)
- 磁感应强度 :
(与恒定磁场表达式类似，但包含位移电流对磁场的影响)
此时仅仅不考虑磁场对电场的影响，而没有忽略变化电场对磁场的影响。
2. 磁准静态场 (Magnetoquasistatic field, MQS)
(1) 磁准静态场 (MQS) 条件
当位移电流远小于传导电流时 ()，可忽略 ，称为磁准静态场。
即 。
应用场景：运行于低频(工频)下的各类电磁装置中的磁场问题、涡流问题。如变压器、电机、电磁测量仪表等。
(2) MQS 基本方程
- 磁场方程 (与恒定磁场相同，为有旋无源场):
- 电场方程:
计算特点：
磁场的计算独立于电场，电场的计算需考虑变化磁场的影响。
先计算磁场，然后再计算电场。
(3) 导出关系
- 由 ，可引入矢量磁位 :
- 传导电流连续性:
(由 和 导出)
(4) 场量积分关系式 (了解)
- 磁感磁感应强度 :
- 总电场 :
(此处第二项的 印刷可能有误，感应电场通常不直接通过这种积分形式求解，而是通过 )
判断 MQS, EQS 一般原则
- 存在传导电流，则优先考虑 MQS
- 存在电荷 (电压)，优先考虑 EQS
例：工频激励下的平板电容器中的电磁场 (EQS)
已知平行板电容器极板间距 , 相对介电常数 , 电压 。
由于存在电压且无明显传导电流路径，判断为 EQS 问题。
计算电场 (库仑场 ):
计算磁场 (应用安培环路定律 ):
设环路为半径 的同心圆，则 (注意 幅值为负)
验证 :
由 计算感应电场 。
在圆柱坐标系下， (若 是主要分量)。
根据 (此处应为 或其他分量，课件直接用 求解感应电场，实际是计算 导致的 )
课件中计算的是由 变化产生的 分量 (即 )。
根据旋度方程：
比较感应电场 和库仑电场 ：
对于典型的 (如 )，，故为 EQS 场。
4.5.2 典型的EQS场问题——均匀导电媒质中的电荷弛豫
1. 电荷弛豫过程定义
电荷弛豫是指导体内部由于存在非零的净电荷体密度时，这些电荷在自身产生的电场作用下运动，导致该电荷体密度随时间指数衰减的固有物理过程。它描述的是导体对内部电荷不平衡的“自我修正”能力。
2. 导体中电荷满足的物理定律 (EQS场中)
- 欧姆定律:
- 麦克斯韦方程:
- 电荷守恒定律:
3. 导体中电荷满足的微分方程及其解
假设导电媒质 均匀且各向同性。
由上述定律可得：
结合电荷守恒定律：
解得：
其中 为 时的电荷分布， (秒) 称为弛豫时间。
说明:
- 对于良导体，, ，所以 非常小 (约 )
- 在导体内部，体电荷随时间迅速衰减为0。此衰减过程就是自由电荷的弛豫过程。
- 在导体内部，体电荷(电流)很快衰减至零，故由此引起的感应电场可以忽略不计 (支持近似)。
4. 分块均匀导体中的弛豫过程
在两种导电媒质的分界面上 (法向从1指向2):
- 高斯定理： (面电荷密度)
- 电流连续性 (考虑面电荷积累)：
- 欧姆定律：,
代入可得全电流密度法向分量连续性：
或者
即在时变电磁场中，位于导电媒质分界面上的全电流密度 (传导电流+位移电流) 法向分量连续。
例：双层有损介质平板电容器接至直流电压源的过渡过程
两层介质分别为 和 ，外加电压 。
【电磁场角度分析】
- 全电流连续
- 电场积分等于电势差
解得 , 以及分界面面电荷密度 :
其中，等效弛豫时间 。
结论:
- , 。
- (稳态), (与恒定电流场结果一致)。
- 当导电媒质通电时，电荷的弛豫过程导致分界面有积累的面电荷。
- 当分界面媒质满足 (即 或 )，则 。
【电路角度分析:】
等效电路为两个并联的支路 ( 串联 )，总电压为 。
初始时刻 ()，电容看作短路，电压由电容决定。稳态时 ()，电容充满电（表现为分界面上面电荷积累），电容看作开路，电压由电阻决定。
初始电压分配由电容决定：
稳态电压分配由电阻决定：
场路方法分析结果一致。
4.5.3 典型MQS的场问题——集肤效应与透入深度
1. 极低频交变电流的工况
- 观察瞬间可看作直流电流的恒定场效应，称为准静态电流场。
- 方程组:
- (忽略感应效应)
- (通常导体内部 )
- 可采用恒定电流场的计算方法求解。
2. 低频或高频交变电流 (时变场) 的工况
- 当 ，即 (良导体条件)。
- 此时可以忽略位移电流的作用，为 MQS 场。
- 对于良导体 (如金属 )，在频率 (射频及以下) 时， 恒成立。
3. 低频或高频交变电流工况的方程 (MQS场)
集肤效应的产生:
导体内因传导电流的磁场所激励的感应电场与传导电流的电场相比，已不能忽略。从而导致场量主要分布于导体表面的现象——趋(集)肤效应 (Skin Effect)。
4. 导电媒质中MQS场的基本方程
结合 , ，以及上述 MQS 方程:
所以，
在良导体中，通常电荷密度 ，因此 。
得到电磁场的扩散方程:
同理可得：
5. 基本方程的相量形式
对于正弦稳态场，。扩散方程的相量形式 (复数形式) 为：
定义传播常数 :
其中 。
透入深度 (Penetration Depth) d:
是指的强度衰减到表面值的时传播的深度
6. 半无限大平表面导体中的趋肤效应、透入深度
设半无限大导体位于 的区域，高频正弦电流沿 方向流动 ()
则电场 ，磁场
场量仅为坐标 的函数，基本方程简化为一维亥姆霍兹方程：
通解为 。
边界条件：
- , 为有限值 。
- , 为表面电场幅值 。 解得：
- : 衰减因子。当 时，。 透入深度 表征了场量衰减到表面值的 (约36.8%) 时所对应的距离。 越小，场量衰减越快。工程上认为 时，场量近似衰减为0。
- : 相位因子，表示电磁场在扩散过程中的相位变化，相位随深度 增加而滞后。
投入深度d表征了场量的相位落后90°时所对应的距离
同理，电流密度和磁场强度：
(其中 可由 或总电流条件确定)。
4.5.4 涡流及其损耗（了解）
1. 涡流 (Eddy Current)
定义: 当金属导体置于交变的磁场中时，导体的表面就会有感应电流产生。这些电流的流线在金属体内自行闭合，形成漩涡状，因此这种由电磁感应原理产生的感应电流称为涡流。
2. 涡流特点
- 热效应: 涡流是自由电子的定向运动，因此具有与传导电流相同的热效应。
- 去磁效应: 涡流产生的磁场总是反对原磁场的变化。
- 工程应用:
- 叠片铁芯: 用于电机、变压器、电抗器等，以减小涡流损耗。
- 电磁屏蔽。
- 电磁炉。
3. 涡流场分布
以变压器铁芯叠片为例研究涡流场分布。
假设条件
- 叠片的长度 和高度 远大于厚度 ()，因此场量仅是 坐标的函数。
- 外加磁场 (沿z轴方向)，因此感应电场 和涡流 分布在xoy平面，且仅有y分量。
- 磁场关于y轴对称，且在叠片中心 () 时，。
薄导电平板的磁场
在MQS场中，磁场满足涡流场方程（扩散方程）：
对于一维情况，即：
解方程并代入假设条件，可以得到：
- 磁感应强度：
- 电流密度：
和 的幅值分别为：
式中 。
场分布特点
- 去磁效应: 薄板中心处 () 磁场最小，表面磁场最大。
- 集肤效应: 电流密度奇对称于y轴，表面电流密度大，中心处 。电磁能量由外到里逐渐衰减，呈现集肤效应。
两边大中间小
4. 涡流损耗
平均功率损耗
体积 中导体损耗的平均功率为：
低频涡流损耗
当频率较低时，消耗在铁心薄钢片中的涡流损耗为：
从公式可见，。
减小涡流损耗的方法
- 减小电导率 (例如采用硅钢片)。
- 减小厚度 (例如采用叠片铁芯)。
实际意义
研究涡流问题具有实际意义，例如高频淬火、涡流的热效应应用、电磁屏蔽等。
5. 导体的交流内阻抗
- 直流或低频交流: 电流均匀分布，。
- 高频交流: 存在集肤效应和去磁效应，电流不均匀分布。 交流阻抗 可以通过坡印廷矢量计算：
其中：
例：圆柱导体的交流阻抗参数 (设透入深度 )
电流不均匀分布为（根据前面的推导）：
磁场强度，由安培环路定律：
电场强度：
最终得到交流阻抗：
因此，交流电阻 和感抗 分别为：
内电感 ：
讨论
- 交流电阻R的变化 (其中 为直流电阻， 为透入深度)。 由于 ，故 。交流电阻随频率的增加（ 减小）而增大，这是集肤效应的结果。
- 自感L的变化 (其中 为圆柱导体直流内自感)。 由于 ，故 。自感随频率的增加（ 减小）而减小，这是去磁效应的结果。
