用虚拟的镜像电荷代替未知的电荷分布，把导体等效成均匀的电介质
2.6.1 点电荷-无限大的接地导电平面系统
泛定方程相同，边界条件相同，解唯一
半空间等效：上述等效方法仅对导体平面上半空间成立！对外等效，对内不等效
步骤：
- 整个空间用单一媒质填充
- 确定镜像电荷（数量、位置、电荷量）
- 应用镜像法分析、计算原问题
其他镜像
只有导电劈的夹角是 的整数分之一的时候才可以求出其镜像电荷
初学者在这里可能容易犯晕……其实镜像的原则就是维持边界条件：
直角镜像
导电劈
2.6.2 电轴-无限大导体平面
电轴：截面大小可以忽略不计的长直带电圆柱导体
镜像法思路：
- 将线电荷看成无限个点电荷的集合
- 对每个点电荷，应用之前的镜像法结论
- 实际上也就是直接对电轴作镜像
电场分布
一根电轴产生的电场：
一对电轴产生的电场：
电位分布
任意选定点为零电位参考点，对电场强度积分得到电势：
2个异号电轴在P点产生的电位为：
设Q点在中垂面上，也就是，则有：
等位线方程
根据中学数学可知，这是一个阿氏圆：
圆心到原点距离，电轴到原点距离，以及圆的半径有如下关系：
如果静电场的等位线为一族偏心圆，那么其电场的计算问题可以等效为一对正负电轴产生的电场
2.6.3 电轴法
同半径的两线输电线的电场
输电线是导体，其表面是等位面；选取如图的坐标系，等位面为同半径的两个偏心圆
因此，可以用上面所述的一对电轴模型计算原场的分布
关键：确定电轴位置
- 为电轴位置
- 为偏心圆圆心位置
- 为偏心圆半径
确定等效电轴的电荷线密度：
保证输电线边界的电位相同
→保证对外的电场相同，则电场积分得到的电位也相同
→由高斯定理，保证内部电荷量相同即可
→电轴的电荷线密度也是
适用区域：哪个区域没有引入电荷就适用于哪个区域
两个不同半径的两线输电线电场
关键：确定原点以及电轴的位置
适用范围：没有引入电荷的区域
偏心电缆的电场
2.6.4 点电荷-无限大介质平面系统的电场
根据之前的经验，等效的关键是，构造出一个合适的物理模型去等效边界条件
我们把等效电荷的位置定下来（镜像的位置），然后根据边界条件去计算引入电荷的电荷量
- 分界面上
等号左边计算的是中的场强，用上半空间电场计算的模型
等号右边计算的是中的场强，用下半空间电场计算的模型
这里有点假设检验法的意思；假设我的两个计算模型都是正确的，反过来求参数
两个镜像电荷不是同时存在的！用对应的模型解决对应的问题
- 分界面上
- 求得电荷量：
推广：电轴-无限大介质平面
2.6.5 点电荷-导体球
1.0基本问题——导体球接地
- 泛定方程
- 边值条件
- 应用镜像法的思路
- 将导体球撤出，全部充以 的电介质
- 导体表面的感应面电荷用集中电荷 代替
根据边值条件计算出 的大小和位置
本质上也是一个阿氏圆问题！
- 定性分析， 一定在轴线上
- 一通计算，关键就是保证
计算场中电位分布和场强分布
套公式即可
导体球上感应电荷电荷面分布
可以看到：
也就是说，离q最近的地方电荷面密度最大；离q最远的地方电荷面密度最小；符合直观的认识
- 导体球上感应电荷总量
和无限大平板相比，此时感应电荷的总量比 q小
感应电荷总量=是符合预期的，用高斯定理很容易证明
- 与无限大平板对比
半径无限大的导体球就是无限大平板
2.0导体球不接地，且呈电中性
列写新的边值问题方程，将这个方程线性地拆解成两个方程组
两个方程组线性叠加，和原方程组完全一样，同样满足唯一性定理
其中，
结论：
需要引入两个等效电荷：
- 距离圆心处，
- 在圆心处，
3.0导体球不接地，且带电量Q
显然的，为了满足泛定方程的额外条件（也就是满足等效前后球表面上的电势相等），只需要在球心O处放置一个 的电荷即可
4.0 带电导体球已知电位为
和2.0/3.0完全等价，都是基本问题1.0＋球心放一个电荷
已知导体球电位 也一定能算出表面电荷量
5.0点电荷在导体球内
5.1球接地
相当于1.0的反演，这时已知球内的电荷，倒推球外的电荷，推导逻辑和方法完全相同，结论也一样
注意：适用范围是球内场域（因为在球外引入了假想电荷）
解得：
5.2球不接地（呈电中性）
仍然把问题分解为两个子问题，其中第一个子问题就是5.1
对于第二个子问题，
为了保证边界条件，在球面上引入总量为的均匀面电荷
例题
镜像法考察是有难度的；必须完全理解上述推导过程+记住必要的结论才能解题
09-10真题
23-24真题
