这一章很有难度！！！
5.1 问题的提出
求解定积分的牛顿-莱布尼兹公式：
但是这种方法在实际工程应用中有如下的局限性：
- 被积函数f(x)的原函数F(x)不易找到。许多很简单的函数其原函数都不能用初等函数表示成有限形式。
- 被积函数f(x)没有具体的解析表达式。其函数关系由表格或图形表示,无法求出原函数。
- 尽管f(x)的原函数能表示成有限形式但其表达式相当复杂。
几种精度不高的积分方法
回忆积分中值定理：
左矩形公式
相当于取
右矩形公式
相当于取
中矩形公式
相当于取
梯形公式
相当于取
以上方法精度都不够高
5.2 插值型求积公式
在前述插值方法的基础上，问题转化为对多项式求定积分的问题，这是很容易解决的。
在插值多项式中，
，是拉格朗日插值多项式系数的积分，也是常数
由此，数值积分的结果就是离散点上函数值的线性组合
梯形求积公式
对于任意区间[a,b]上连续函数f(x)，梯形求积公式为：
这个公式相当于用线性函数近似代替原函数，用梯形面积代替曲边梯形面积。
梯形公式的代数精度为1，其余项为：
辛普森求积公式
对于任意区间[a,b]上连续函数f(x)，辛普森求积公式为：
这个公式相当于用二次函数近似代替原函数，用抛物线下的面积代替曲边梯形面积。
辛普森公式的代数精度为3，其余项为：
牛顿-柯斯特公式
：只与积分区间和n（节点数）有关
只与n有关
为了进一步简化表达式，我们采用等距取积分点的方式
由拉格朗日插值多项式 ，对 的定积分可以表示为：
下面来具体观察 的表达式，可以发现它只由节点决定，和 无关
牛顿-科特斯求积公式的余项为：
牛顿-科斯特求积公式为：
进一步讨论 :
其中，（b-a）是与区间有关的项，而 是仅仅与节点有关的项。
由此，牛顿-科斯特积分公式（在等距取节点的条件下）可以进一步写成：
科斯特系数与被积函数f（x）无关，与积分区域（a，b）也无关，只与选取的等距节点个数有关
因此，可以构建科斯特系数表
- n=1，梯形公式
- n=2，辛普森公式
- n=4，科斯特公式
牛顿-科特斯公式的误差估计
代数精度
- 理解：代数精度是指方法本身的精度，而不是针对某一次具体的估计
- 梯形公式的代数精度是1；辛普森公式为3
牛顿-科斯特求积公式的余项
采用n阶插值求积，至少具有n阶精度（若n为偶数，则为n+1阶精度）
偶次项的余项不符合通式（导数高了一阶，系数也对不上）
或许只能背公式了；也是容易记忆的，把系数背一背
关于余项中负号的含义：负号表示我们通过牛顿-科特斯求积公式计算得到的数值积分结果会高于实际积分值。换句话说，如果f''(ξ)为正，那么我们的数值计算会高估实际的积分值；如果f''(ξ)为负，那么误差项为正，我们的数值计算会低估实际的积分值。
5.3 复合求积公式
逻辑和之前的分段插值是一样的，因为高次插值会有荣格现象，以此为基础进行求积肯定不准确；
因此，还是采取在小区间上分段复合求积的策略。值得注意的是，与插值法采用最简单的线性插值不断缩小区间的方法不同，此处的最优方法似乎是复合求积辛普森公式，因为它可以在运算量相差不大的情况下使结果迅速收敛。
复合梯形求积公式
就是把区间等分成n段，对每一段用梯形求积公式，其中，表达式的系数可以通过下图来理解记忆。
复合梯形求积公式的余项
让我们来推导复合梯形求积公式的余项：
- 首先，对于单个小区间[xi, xi+1]上的梯形公式，其余项可以通过泰勒展开得到：
- 在小区间上积分：
- 积分后得到：
- 梯形公式在该区间的实际计算值为：
- 两式相减得到单个区间的误差：
- 对所有n个小区间的误差求和，由中值定理可知存在ξ∈[a,b]，使得：
将余项中的h用(b-a)/n表示，则：
复合求积辛普森公式
复合求积辛普森公式的余项
这是复合求积辛普森公式的余项，其中ξ为区间[a,b]上的某个值。注意到与复合梯形求积公式相比，其误差阶数更高（n的四次方），这也解释了为什么辛普森公式的精度更高。
余项的系数和求积公式的系数是一样的！基本只用记住一个
与梯形公式比较，复合求积科斯特公式可以在计算量基本不变的情况下极大提高精度
复合求积科斯特公式
6阶导数不考！！
变步长梯形求积法
实际运算时，通常需要判断将区间几等分时满足题目所要求的精度
一般而言，我们采取不断二等分的方法，因为这样做之前计算的节点值还可以用到下一次计算中
实际上是误差的三倍，但是这在工程上其实无所谓（）
5.4 龙贝格积分方法
事实上，在变步长梯形求积公式中，我们得到：
上面给出了一种方法，用这个关系进行误差估计，判断什么时候停止迭代
梯形法的加速
换一种思路，我们可以对此进行误差修正：
这样的经过误差修正的梯形求积公式就是辛普森公式（也称作加速公式）：
龙贝格算法
梯形法加速为辛普森算法；
辛普森算法用同样的方式加速为科斯特算法；
科斯特算法加速为龙贝格算法
计算方法如图所示：
注意，此时误差比较的方法是：T1与S1做差；S1与C1做差；R1与C1做差
注意，此时如果精度还是不够，不要继续加速，而是去计算R2，R4……
因为之前提到过，再加速系数中会出现负数，误差反而可能会增大
注意，上面的图可能有点误导。实际计算中下标都是，也就是……
5.6 数值微分
差商
回忆函数f(x)在点x处导数的定义：
基于此定义，一种直接的数值计算思路是：把h取的尽量小
这也就是差商的方法
向前差商
当h取较小的正值时，可得到向前差商公式：
向后差商
当h取较小的负值时，可得到向后差商公式：
中心差商
将函数值在x点左右两侧各取一点，可得到中心差商公式：
其中，中心差商通常具有较高的精度，因为它考虑了函数在导数点两侧的变化情况。
插值法数值微分
- 插值多项式的误差
- 微分之后的误差
整体的思路就是：不好直接求，找多项式替身
