基本上只会考两导体之间电容的计算
2.8.1 两导体系统的电容
定义


计算式
NOTE THAT:
可以这样计算是因为:
- 对于导体而言,认为垂直导体表面
代入,得到C的计算式:
求电容的关键是求电势差
例题:电轴法求电势差→电容

常见电容器的电容计算
1. 平行板电容器
其中S为极板面积,d为极板间距

2. 同轴圆筒电容器
其中l为圆筒长度,R₁为内圆筒半径,R₂为外圆筒半径

3. 球形电容器
其中为内球半径,为外球半径

4. 串联连接

串联时,总电容小于最小的单个电容
5. 并联连接
并联时,总电容等于各个电容的代数和

2.8.2 多导体系统的电荷与电位·部分电容
1.0 电位系数与感应系数
1. 多导体系统概述
当多个导体邻近放置时,一个导体的带电会在其他导体上产生影响。例如,三相输电线、各种类型的变压器、绝缘子串等。对于多导体系统,需要引入部分电容的概念。
2. 电位与电荷的关系
考虑一个由 个导体组成的静电独立系统,
- 其中电场分布只与系统内各导体的形状、尺寸、相对位置和电介质的分布有关,而与系统外的带电体无关
- 并且所有电通量密度都从系统内的带电体发出又全部终止于系统内的带电体上。
各导体按 顺序编号,其相应的带电量分别为 ,则必须满足:
NOTE THAT:
因为如果总电荷量不为零,根据高斯定理,做一个很大的闭合曲面把所有电荷包围,则一定会有电通量辐射到系统外部,不符合静电独立系统的假设
在多导体系统中,每个导体的电位不仅与自身电荷有关,还与其他导体上的电荷有关,因为周围导体上电荷的存在必然影响周围空间的场分布。
如果空间介质是线性的,且选取0号导体为电位参考点,即 ,则应用叠加原理,可得每个导体电位与各个导体上电荷的关系为:
可以写成矩阵形式:
其中, 称为电位系数。其涵义可以从下式定义得到理解:
即 表示当导体 带单位电荷,而其他导体均不带电时,在导体 上引起的电位。
电位系数的性质:
- ,称为自电位系数。
- ,称为互电位系数。
- 对称性:。
- 电位系数只与系统中导体的几何形状、尺寸、相对位置以及介质的介电常数相关。
3. 电荷与电位的关系(逆关系)
也可以通过求解方程组得到电荷与电位的关系:
即:
其中, 称为感应系数。它们和电位系数之间的关系为:
其中 是 的行列式的值, 是对应的代数余子式。
同样可以从下列关系式看出其物理意义:
即 表示当导体 的电位为单位电位,而其他导体均接地(电位为零)时,在导体 上感应出的电荷量。
感应系数的性质:
- ,称为自感应系数。
- (),称为互感应系数。
- 对称性:。
- 感应系数也只和所有导体有关的几何形状、尺寸、相对位置以及介质的介电常数相关。
2.0 部分电容
注意!这里李玉玲老师的课件上有错误❌按照下面的笔记/课本来
部分电容的引出
在工程分析中,通常将导体与电位之间的关系通过两两导体间的相互电容,即所谓部分电容来表示。
这是因为导体之间的电压往往比导体和一个遥远的地之间的电压更容易测得
对于一个由 () 个导体组成的系统,一般可表示成:
其中 是参考导体的电位,一般选取为GND。
比较方程组与用感应系数表示电荷的关系式,当参考导体0号导体接地 () 时,可得:
又若令 ,而 ,则仍由以上两方程及 的表达式,可得:
由此:
同理可知:
部分电容的分类与性质
- () 称为自有部分电容,即各导体与0号导体 (亦即选为电位参考点的导体) 间的部分电容。
- 称为互有部分电容,即相应的两个导体间的部分电容。
- 所有部分电容恒为正值。
- 对称性:。
- 部分电容也只和系统中所有导体的几何形状、尺寸、相对位置以及介质的介电常数相关,与导体所带电量无关。
- 对于由 () 个导体(包括作为参考的0号导体)组成的静电独立系统,由于每个导体之间都有部分电容存在,总共有 个部分电容。

思路:镜像法+之前学过的叠加法
用原来的方法列方程;利用方程的系数矩阵得到部分电容


两线间等效电容(工作电容)
通过部分电容计算真正的工作电容
等效电容(工作电容)是指在实际工程应用中,由于导体之间存在的相互作用,两导体之间的实际有效电容。它考虑了导体间的直接电容效应和其他导体的影响。
在有多根导线的系统中,工作电容可以通过各部分电容的串联和并联关系来计算。例如:
- 当两个导体间通过其他导体形成电容串联时,总工作电容为各部分电容的串联值
- 当多个导体对之间并联形成电容时,总工作电容为各部分电容的并联值
这种方法使我们能够通过已知的部分电容参数来计算复杂系统中的实际工作电容

右图是指从上往下看,与串联,然后与并联

2.8.3 静电屏蔽
部分电容为我们认知静电屏蔽现象提供了全新的视角

导体1和导体3被相互隔离,不存在静电耦合作用
无论导体2接地与否,
- 导体2接地时的等效电路

- 导体2不接地时的等效电路

导体3对导体1没有直接的影响,但是通过2有间接的影响
很重要的一点是要画出这样的等效电路。这个等效电路中的电容参数只与导体的位置、形状、材料等物理特性有关,与带不带电没有关系。
换句话说,只要题目给定了这些基本信息,等效电路图就已经确定了。