手绘根轨迹意义不大，计算机可以很快完成
掌握根的变化规律 设计控制器，补偿器
一、 什么是根轨迹？
对于一个典型的负反馈系统，其闭环传递函数为：
其特征方程为：
根轨迹是一种图解法，用于研究当系统的某个参数（通常是开环增益）从0变化到时，该系统**闭环特征方程的根（即闭环极点）**在s平面上变化的轨迹。
在绘制根轨迹前，必须将系统的特征方程化为上述标准形式。
示例：如何化为标准形式
假设一个系统的特征方程为：为了提出增益K，我们进行如下变换：
此时，等效的开环传递函数为
二、 绘制根轨迹的基本规则
规则一：起点和终点
根轨迹的分支始于 (K→0) 开环传递函数的极点，终于 (K→∞) 开环传递函数的零点。
- 开环极点：开环极点：使 的分母多项式 为0的点。
- 开环零点：使 的分子多项式 为0的点。
规则二：根轨迹的分支数
根轨迹的分支数等于开环传递函数的极点数 n。
规则三：实轴上的根轨迹
实轴上的根轨迹存在于从右向左数奇数个极点&零点左侧
示例：
对于
- 开环极点: -1, -3
- 开环零点: -2, -4
- 从右往左看，对零点、极点编号；画出根轨迹
规则四：对称性
由于系统特征方程的系数通常为实数，其复数根必共轭出现。因此，根轨迹总是关于实轴对称的。
规则五：无穷
- 若，则有个极点指向无穷
- 若，则有条根轨迹从无穷指向零点
规则六：渐近线
当开环极点数大于开环零点数时（），有 条根轨迹分支将沿着渐近线趋向于无穷远处。
- 渐近线与实轴的交点（质心）
- 渐近线与实轴的夹角
三、 综合绘图示例
绘制开环传递函数为 的根轨迹。
1. 分析系统
- 开环零点 (m=1):
- 开环极点 (n=4):
- 分支数: 共有4条分支。
2. 实轴上的根轨迹
- 根据规则三，实轴上的根轨迹为
[-1, 0],[-3, -2]和(-∞, -4]。
3. 渐近线
- 趋向无穷远的分支数: 条。
- 渐近线交点 (质心):
- 渐近线夹角 ():
MATLAB 绘图
