1. 原始系统分析：比例控制
我们从一个典型的比例控制系统开始分析，其开环传递函数为：
这是一个标准的二阶系统。
1.1 根轨迹绘制
- 开环零极点: 系统有两个开环极点 和 ，没有开环零点。
- 渐近线:
- 与实轴交点：
- 渐近线角度： (90°) 和 (270°)
- 分离点: 根轨迹在 和 之间，分离点位于 。
1.2 系统性能分析
- 当增益 K 较小时，闭环极点是两个负实数根。响应由衰减较慢的主导极点决定。
- 当增益 K 增大，闭环极点变为共轭复根 。系统的响应变为衰减振荡形式 。
性能瓶颈: 无论如何调整增益 K，闭环极点的实部始终为-1。这意味着系统的收敛速度 (由 项决定) 是固定的，无法通过简单的比例控制来加快。
2. 系统性能改善需求
为了加快系统的收敛速度，我们需要将闭环极点向S平面的左侧移动。
- 设计目标: 假设我们希望将闭环极点移动到 ，这样衰减的实部从-1变为-2，收敛速度将显著提升。
- 角度条件验证: 根轨迹上的任意一点 s 都必须满足角度条件 。我们检验目标点 ：
- 该点与原点极点 的连线夹角为 。
- 该点与极点 的连线夹角为 。
- 总相角: 。
- 结论: ，因此目标点不在原始的根轨迹上，必须通过引入补偿器来修正根轨迹。
3. 方案一：PD控制器 (引入零点)
3.1 设计原理
为了让目标点 位于新的根轨迹上，我们需要补偿 的相角，即需要额外提供 的相角。最简单的方法是引入一个零点。
- 控制器: 引入一个零点相当于在系统中加入了一个 PD控制器。根据几何关系，可以计算出当零点位于 时，可以恰好提供所需的 相角。
- 控制器传递函数:
3.2 存在的问题
PD控制器虽然能有效修正根轨迹，但其微分项（D）对高频噪声非常敏感。
从其传递函数 的波特图可以看出，其幅值会随着频率的增加而无限增大，这意味着高频噪声会被显著放大，在实际应用中是不可接受的。
4. 方案二：超前补偿器
为了克服PD控制器的缺点，我们采用超前补偿器。它通过引入一个零点和一个极点来实现。
4.1 设计思想
超前补偿器的核心思想是：
- 引入一个零点来提供所需的正相角（相位超前），以修正根轨迹。
- 引入一个极点来抵消零点在高频段对幅值的影响，抑制高频噪声。该极点的位置必须比零点更靠左，以确保整体上提供正相角。
- 几何设计: 为了提供净的 相角，我们可以组合一个零点和一个极点。例如，让零点提供 的相角，让极点提供 的相角，净效果为 。
- 根据几何关系可以计算出对应的零点和极点位置，得到补偿器的传递函数：
4.2 频率特性分析 (波特图)
- 相位超前: 从超前补偿器的波特图可以看出，它在某一频段内能够提供正的相角，即让输出信号的相位超前于输入信号的相位。这就是"超前补偿器"名称的由来。
进一步的，这是因为补偿项的
- 高频增益受限: 与PD控制器不同，超前补偿器的幅频特性在高频段会趋于一个有限值（0dB），而不是无限增大。这有效地抑制了高频噪声的放大。
5. 总结
- 比例控制: 实现简单，但无法改变由系统固有结构决定的收敛速度。
- PD控制: 通过引入零点，可以有效改善系统瞬态响应，但对高频噪声敏感，物理上难以完美实现。
- 超前补偿器: 通过引入一个零点和一个远离虚轴的极点，既能像PD控制一样提供所需的相位超前来改善系统瞬态响应，又能抑制高频噪声，是PD控制的一种物理可实现且更常用的改进形式。
