一、 引言 (Introduction)
1.1 研究背景与挑战
- 背景: 风力发电机(WTs)并网，尤其是在弱电网条件下，容易出现暂态失稳问题。
- 挑战: 高阶次和强非线性是分析WT暂态稳定性的主要难点。
1.2 现有研究的局限性
- 现有工作大多仅关注锁相环(PLL)系统，而忽略了电流控制环路的影响，这无法全面反映暂态失稳的机理。
1.3 本文主要贡献
- 综合分析: 同时考虑了PLL和电流控制对三型风机暂态稳定性的影响。
- 新分析方法: 提出了一种结合奇异摄动法和李雅普诺夫方法的新方法来研究暂态稳定性。
- 模型简化: 利用奇异摄动法，将高阶(六阶)完整模型简化为一个低阶(二阶)慢速子系统和一个线性化的快速子系统，揭示了失稳机理和关键影响因素。
二、 系统描述与建模 (System Description and Modeling)
2.1 系统描述
系统结构:
采用双馈感应发电机(DFIG)的三型风机，通过变流器(RSC和GSC)接入弱电网。弱电网等效为理想电压源 与电网阻抗 串联。
控制耦合:
锁相环(PLL)检测并网点(PCC)电压 以实现同步，其输出会影响转子侧变流器(RSC)的电流控制。因此，WT与弱电网通过PLL和电流控制环路相互耦合。
双dq坐标系:
由于PLL的动态响应，系统中存在两个dq坐标系：
- 系统dq坐标系 (system dq-frame): 以实际电网电压矢量角 为基准，变量上标为 。
- 控制器dq坐标系 (controller dq-frame): 以PLL输出的角度 为基准，变量上标为
- 关键变量: 两个坐标系之间的角度差定义为 。任意变量 在两个坐标系下的转换关系为：
2.2 完整高阶模型 (Full Model)
2.2.1 DFIG基本方程
在系统dq坐标系下，DFIG的电压和磁链方程为：
- 电压方程:
- 磁链方程:
其中 (原文为) 是转差角频率。
2.2.2 转子电流环路状态方程
- RSC控制电压: 在控制器dq坐标系下，考虑PI控制和电动势前馈补偿，转子电压为：
其中 是电流环PI控制器， 是漏磁系数。
- 方程推导: 将RSC控制电压转换到系统坐标系，并与DFIG基本方程联立，忽略定子电阻 和转子电阻 的影响，可推导出关于转子电流 的二阶微分方程：
这个方程描述了电流控制环路的动态特性。
2.2.3 定子电压与电网相互作用
- 电网方程: 计及电网电感 (忽略电阻)，PCC电压 与电网电压 的关系为：
- 方程推导: 将DFIG磁链方程代入上式，可得PCC电压 的表达式，
再对其求导，得到定子电压的动态方程:
其中 。
2.2.4 锁相环 (PLL) 状态方程
- PLL基本模型: PLL的动态可以表示为：
- 方程推导: 将 代入并对时间求二阶导，得到PLL关于角度差 的二阶动态方程:
2.2.5 模型特点总结
由上述三个核心动态方程构成的完整模型具有以下特点，导致分析困难：
- 高阶次: 是一个六阶系统 (电流 的实部和虚部各为二阶，角度 为二阶)。
- 强非线性: 包含 等三角函数项以及状态变量的乘积项。
- 强耦合: 电流环、PLL和弱电网之间相互影响，耦合紧密。
三、 模型降阶与简化 (Reduced-Order and Simplified Model)
3.1 奇异摄动法简介
- 核心思想: 将一个动态系统根据响应速度的快慢，分解为慢速子系统(slow subsystem)和快速子系统(fast subsystem)。
- 标准形式:
其中， 是快速状态变量， 是慢速状态变量， 是一个远小于1的小参数。
- 分解方法:
- 慢速子系统: 令 获得。
- 快速子系统: 引入快速时间尺度 ，然后令 获得。
- 在WT系统中的应用:
- 快速状态 (): 转子电流 。
- 慢速状态 (): PLL角度差 。
- 小参数 (): 转子暂态电感 (其值很小)。
3.2 慢速子系统 (Slow Subsystem)
3.2.1 模型推导
- 电流环路简化: 在转子电流环路方程中令 ，得到一个一阶微分方程。其解表明在慢速时间尺度下，转子电流 会快速收敛于其参考值 。
这意味着电流环路在慢速子系统中总是稳定的，系统的稳定性由PLL动态决定。
- PLL动态简化: 将 代入定子电压和PLL的动态方程中。忽略电流的衰减暂态项，并对 进行泰勒近似 ()，最终得到描述慢速子系统的二阶非线性微分方程:
其中 。这个降阶后的模型大大降低了分析的复杂度。
3.3 快速子系统 (Fast Subsystem)
3.3.1 模型推导
- 核心思想: 快速子系统描述了系统状态向慢速子系统轨迹（即慢流形）收敛的过程。因此，快速子系统的状态变量可以看作是叠加在慢速变量上的小扰动（ 和 ）。
- 模型建立: 将上述含扰动的变量代入在快速时间尺度 下的完整模型方程，并进行线性化处理，可以得到描述扰动量 和 演化规律的线性化状态空间模型。
- 电流环动态:
- PLL动态: (推导过程复杂，此处略) 最终得到一个三阶的线性化状态空间方程，其状态变量为 。
3.4 模型验证 (Model Validation)
- 通过在 MATLAB/Simulink 中进行时域仿真对比，验证了所提出的降阶模型（慢速-快速子系统）的正确性。
- 仿真结果表明，在50%的电压跌落下，降阶模型的暂态响应曲线与完整高阶模型的曲线高度吻合，误差小于0.5%。
- 结论: 该降阶模型可以很好地描述三型风机的暂态响应特性，验证了模型简化的有效性。
四、 暂态稳定性分析 (Transient Stability Analysis)
根据前述分析，系统被分解为二阶非线性的慢速子系统和可线性化的快速子系统。因此，本章采用不同的李雅普诺夫方法分别进行研究。
4.1 慢速子系统稳定性分析 (Stability Analysis of Slow Subsystem)
4.1.1 分析方法：李雅普诺夫直接法 (Lyapunov's Direct Method)
- 核心思想: 对于非线性系统 ，如果能找到一个标量函数 （称为李雅普诺夫函数），满足：
- 正定性: 对于所有 ，且 。
- 导数负定性: 其对时间的导数 对于所有 。
- 则系统在平衡点是渐近稳定的。
4.1.2 李雅普诺夫能量函数构建
- 思路: 类比一个正定的二次函数 ，我们将慢速子系统的状态变量 和 视为 和 。
- 能量函数: 构造慢速子系统的能量函数 如下：
- 其中，系数 和 根据第三章简化的慢速子系统模型（式22）选取，以简化后续求导：
- 是锁相环比例系数
- , 分别是d轴电流参考和d轴电网电压
4.1.3 稳定性判据推导
- 求导: 计算能量函数 对时间 的全导数：
- 代入系统方程: 将慢速子系统方程（式22）整理后得到的 的表达式代入上式。
- 从式(22)可得:从式(22)可得:
- 代入并化简后，得到 的表达式：代入并化简后，得到 的表达式：
- 应用李雅普诺夫判据:
- 正定性条件 (): 要求能量函数是正定的，需满足：
- 导数负定性条件 (): 要求能量函数的导数是负定的，需满足：
- 最终稳定性判据: 慢速子系统稳定的充分条件为：
- 由于 通常均为正值，条件 一般恒成立。因此，稳定性主要由条件 和条件 决定。
4.1.4 稳定性分析与结论
- 影响因素: 慢速子系统的稳定性主要受电网电压 、电网电感 、d轴电流参考 和 PLL积分系数 (通过 体现) 的影响。
- 结论:
- 较大的电网电压 和 较小的电网电感 有利于稳定。
- 较小的d轴电流参考 有利于稳定。
- 较小的PLL积分系数 有利于稳定。
4.2 快速子系统稳定性分析 (Stability Analysis of Fast Subsystem)
4.2.1 分析方法：李雅普诺夫间接法 (Lyapunov's Indirect Method)
- 核心思想: 对于非线性系统，在其平衡点附近进行线性化，得到线性系统 。如果状态矩阵 的所有特征值的实部均为负，则原非线性系统在该平衡点是渐近稳定的。
- 适用性: 由于快速子系统被视为对慢速子系统轨迹的小扰动，因此线性化分析是适用的。
4.2.2 线性化状态空间模型
- 线性化: 对第三章得到的快速子系统方程进行线性化，主要使用小角度近似：
- 状态空间方程: 将近似代入后，得到关于扰动量 的线性状态空间方程 。其中，状态矩阵 为：
- 矩阵元素 是由系统参数和慢速变量稳态值（如 ）构成的复杂表达式。
4.2.3 特征值分析
- 求解特征值: 求解状态矩阵 的特征方程 ，得到系统的特征值。
- 特征值表达式:
- 稳定性判断:
- 总是负的 (因为 )，对应一个稳定模式。 总是负的 (因为 )，对应一个稳定模式。
- 系统的稳定性由 和 的实部决定。需要 和 。系统的稳定性由 和 的实部决定。需要 和 。
4.2.4 稳定性分析与结论
- 影响因素: 快速子系统的稳定性主要受电网电压 , 电网电感 , 慢速电流稳态值 (), 以及控制器参数 () 的影响。
- 结论:
- 较大的电网电压 和 较小的电网电感 有利于稳定。较大的电网电压 和 较小的电网电感 有利于稳定。
- 较大的电流环比例增益 和 较大的PLL比例增益 会恶化快速子系统的稳定性。较大的电流环比例增益 和 较大的PLL比例增益 会恶化快速子系统的稳定性。
- 较大的d轴电流 会恶化快速子系统的稳定性。较大的d轴电流 会恶化快速子系统的稳定性。
4.3 系统整体稳定性结论
- 综合判据: 根据奇异摄动理论，当且仅当慢速子系统和快速子系统都稳定时，原始的完整系统才能保持稳定。
- 参数影响总结:
- 共同有利因素: 较大的电网电压 , 较小的电网电感 , 较小的d轴无功电流 对慢速和快速子系统都有利，是提升系统暂态稳定性的关键。共同有利因素: 较大的电网电压 , 较小的电网电感 , 较小的d轴无功电流 对慢速和快速子系统都有利，是提升系统暂态稳定性的关键。
- 存在冲突的参数:存在冲突的参数:
- PLL积分增益 : 较大值会恶化慢速子系统稳定性。PLL积分增益 : 较大值会恶化慢速子系统稳定性。PLL积分增益 : 较大值会恶化慢速子系统稳定性。
- 电流环比例增益 和 PLL比例增益 : 较大值会恶化快速子系统稳定性。因此，控制器参数的设计需要在不同子系统的稳定性之间进行权衡。电流环比例增益 和 PLL比例增益 : 较大值会恶化快速子系统稳定性。因此，控制器参数的设计需要在不同子系统的稳定性之间进行权衡。电流环比例增益 和 PLL比例增益 : 较大值会恶化快速子系统稳定性。因此，控制器参数的设计需要在不同子系统的稳定性之间进行权衡。
