逻辑运算定律，常用公式及运算规则
逻辑运算中，只有逻辑加，逻辑乘，求反三种基本运算
逻辑代数中的基本运算定律
序号 | "或"组 | "与"组 | 定律名称 |
1 | 0-1律 | ||
2 | 0-1律 | ||
3 | 重叠律 | ||
4 | 互补律 | ||
5 | - | 否定之否定律 | |
6 | 交换律 | ||
7 | 结合律 | ||
8 | 分配律 | ||
9 | 摩根定律 |
由此，补充另外两条条重要推论，也就是后面所说的吸收律：
运算定律
代入规则：
在任何一个逻辑等式中，如果将等式两边所有变量A代换成一个逻辑函数Z,则代换后的等式仍然成立。
相当于换元的操作（）
对偶规则
- 可以把对偶看作一种运算；
- 如果已经证明等式成立，那么等号两边同时作对偶运算后等式仍然成立
反演规则
由原函数求反函数的过程为反演
利用反演函数可以方便地求出原函数（否则需要使用复杂的摩罗根定律）
- 一个逻辑表达式中有不止一个“非”时，反演规则只能去掉最外层的一个
- 进一步化简还是需要结合摩根定律
- 摩根律比反演规则多了一个取反，因为摩根律得到的是原表达式，而反演律得到的是原表达式的非
【例】
【例】
常用公式
合并律
根据对偶规则有：
吸收律
- 标红的用分配律容易得到证明；只是对分配律还不够熟悉
冗余律
推论
逻辑代数中不存在减法和除法运算！等式两边相同的量不能随便消去
证明1：
证明2：
Case1：
Case2：
由两个Case可知，无论取何值，最后一项都会被吸收掉
所以：
关于异或与同或
这是显然的，异或和同或互为非运算
逻辑函数的表示方法和标准表达式
5种表示方法
真值表表示
函数式表示
- 式子从电路分析得出：
- 式子从真值表得出：
- 这个实际上就是最小项之和的形式
逻辑图表示
波形图表示
卡诺图表示
优势：循环码（格莱码）；相邻项只有一个位变化
逻辑函数的代数法化简
理解两个标准表达式：
本质过程是：我们手上有一份真值表，要写出一个符合这个真值表的逻辑表达式
- 利用逻辑加有1则1的特性，把所有的1挑出来
- 利用逻辑乘有0则0的特性，把所有的0挑出来
标准：与-或表达式；最小项之和表达式
- 当一个函数有n个变量，最小项一定是n个变量的一个“与”项；
- 这个函数应该有 个最小项
最小项的性质：
- 输入变量的任何一组取值，有且仅有一个最小项的值为1
- 任意两个最小项相与，其结果一定为0
- 由1容易推知
- 全部最小项的和，结果为1
- 本质上就是第一个性质
- 只差一个变量不同的二个最小项，逻辑上同样称为相邻，能合并成一项，消去不同的变 量
最小项之和表达式简化形式：
本质上就是给所有的最小项一个编号便于表达
- 有非的（）的记为0，否则为1
- 按照二进制编码
标准：或-与表达式；最大项之积表达式
最大项的性质：
- 任何一组变量取值仅仅对应一个最大项的值为0
- 任何两个最大项之和，其值为1
- 因为一定会有类似 的项
- 全部最大项之积，其值恒为0
- 因为一定有一个最大项为0
- 只差一个变量不同的二个最大项，逻辑上同样称为相邻，能合并成一项，消去不同的变 量
与最小项之和的对应关系：
NOTE THAT：
最大项和最小项的编号规则正好相反！
不难看出这是为了满足下面的编号上的互补关系而人为定义的
逻辑表达式化简的目标
很多时候化简并不是数学表达式最简，而是为了满足硬件的目标
例题
逻辑函数的卡诺图化简
要求：
- 空间上相邻，逻辑上一定相邻
- 逻辑上相邻，空间上一定相邻
卡诺图中的每一个小方格对应着卡诺图中的一个小方格
二变量卡诺图（四个最小项）
三变量卡诺图（八个最小项）
此时，右边的一维表就不能满足上面的两条要求（维度不够）
四变量卡诺图（十六个最小项）
注意一下边角位置的“邻居”，比如与也是相邻的关系
对于更多变量的卡诺图，二维平面就不足以表征逻辑上的相邻关系了
卡诺图的化简
本题中，需要先将表达式展开成最小项之和的形式
- 圈1得到“与非”门
- 圈0得到“或非”门（或者“与或非”门）
- 圈0的最小项之和得到的是原函数的反函数
具有约束的逻辑函数化简
让我们通过例子来理解：
- 红绿灯:
- BCD码伪码：
8421码，输入不能大于9
- 在具有约束条件的逻辑函数化简中，应当充分利用约束项
- 为了化简之后的函数最简，把无关项当作0/1处理皆可
- 因为理论上，无关项不会出现；所以无关项可以任意处理
逻辑函数是否最简取决于能否找到最优的分割
