李雅普诺夫稳定性与渐进稳定性定义
李雅普诺夫稳定性 (Lyapunov Stability)
考虑一个动态系统，其平衡点（或称为均衡点、固定点）为 。通常，为了方便分析，我们会将平衡点平移到原点 。
平衡点 被认为是李雅普诺夫稳定的（或简称为稳定的），如果对于任意给定的 ，总存在一个 ，使得当系统初始状态 满足 时，系统在所有后续时间 的状态 都满足 。
通俗解释：
如果系统从平衡点附近的一个小区域 ( 邻域) 开始运动，那么它将==始终保持在平衡点附近另一个（可能更大的）小区域 ( 邻域) 内，而不会偏离太远。它不要求轨迹最终回到平衡点，只要保持在附近即可。
渐进稳定性 (Asymptotic Stability)
平衡点 被认为是渐进稳定的，如果它同时满足以下两个条件：
- 李雅普诺夫稳定：即满足上述李雅普诺夫稳定性的定义。
- 吸引性 (Attractivity)：存在一个 ，使得当系统初始状态 满足 时，系统状态 随着时间 会收敛到平衡点，即：
通俗解释：
如果系统是渐进稳定的，那么它不仅会像李雅普诺夫稳定那样保持在平衡点附近，而且最终还会逐渐趋向并停留在平衡点上。
从平衡点附近开始的轨迹最终都会回到平衡点。
李雅普诺夫第一方法 (Lyapunov's First Method)
李雅普诺夫第一方法，也称为线性化方法或间接法，是通过研究非线性系统在平衡点附近的线性化系统来判断其稳定性的方法。
基本步骤
- 找到平衡点：求解系统的平衡点方程。
- 线性化：在平衡点处对系统进行泰勒展开，保留一阶项得到线性化系统。
- 计算雅可比矩阵：求解线性化系统的系统矩阵（雅可比矩阵）。
- 分析特征值：计算雅可比矩阵的特征值并判断稳定性。
稳定性判据
根据雅可比矩阵特征值的位置可以得出以下结论：
- 如果所有特征值都具有严格的负实部，则平衡点是渐进稳定的。
- 如果至少有一个特征值具有正实部，则平衡点是不稳定的。
- 如果所有特征值的实部都不为正，但有特征值的实部为零，则仅凭线性化方法无法判断原系统的稳定性。
第一方法就是解微分方程的方法
李雅普诺夫第二方法 (Lyapunov's Second Method)
李雅普诺夫第二方法，也称为直接法，是一种不需要求解微分方程就能判断系统稳定性的方法。它通过构造一个能量函数（李雅普诺夫函数）来分析系统的稳定性。
基本思想
这个方法的核心思想类似于研究一个物理系统的总能量：如果系统的能量随时间单调递减，那么系统最终会达到一个稳定状态。
李雅普诺夫函数
一个李雅普诺夫函数 V(x) 需要满足以下条件：
- 正定性：V(0) = 0，且当 x ≠ 0 时，V(x) > 0
- 连续可微：V(x) 在平衡点附近连续可微
- 导数的负定性：沿系统轨迹的导数 dV/dt ≤ 0
李雅普诺夫函数 的时间导数 直接依赖于系统方程 ：
是状态变量 的函数。要考察 如何随着时间沿着系统轨迹变化，我们需要计算它的全时间导数 。根据链式法则：
这可以写成梯度和向量内积的形式：
其中， 是 的梯度。
关键在于，上式中的 就是由原系统方程给出的，即 。
所以，最终我们得到：
这个公式清晰地显示了 的变化率是如何与系统动态 直接关联的。
稳定性判据
基于李雅普诺夫函数的性质，我们可以得出以下结论：
- 如果存在一个李雅普诺夫函数 V(x)，使得其沿系统轨迹的导数 dV/dt ≤ 0，则平衡点是李雅普诺夫稳定的。
- 如果存在一个李雅普诺夫函数 V(x)，使得其沿系统轨迹的导数 dV/dt < 0，则平衡点是渐进稳定的。
优缺点分析
优点：
- 不需要求解微分方程
- 可以直接判断非线性系统的稳定性
- 适用于更广泛的系统类型
缺点：
- 没有统一的方法来构造李雅普诺夫函数
- 即使系统是稳定的，也可能找不到合适的李雅普诺夫函数
第二方法就是能量函数法，通过构造能量函数来判断稳定性
