4.4 电磁位,b

4.4.1 电磁位（动态位、滞后位）

电磁位是描述电磁场的一种辅助函数，分为标量位 (电位) 和矢量位 (磁位)。在动态场（时变场）中，这些位不仅是空间坐标的函数，也是时间的函数。

基本方程推导:

由磁场的无散性，可以引入矢量磁位，使得：

这是因为任何旋度的散度恒为零 ()。

将上式代入法拉第电磁感应定律：

移项可得：

由于一个无旋场的旋度为零，因此括号内的项可以表示为某个标量函数 的负梯度：

所以，电场强度可以表示为：

这里的和就是动态电磁位，它们都是时间和空间坐标的函数。

这个 是电标量势，它是静电势在时变场情况下的推广。

在静电场条件下，，

在时变场情况下，并不能简单地用来完整描述。完整的电场是由标量势的梯度和矢量势的时间变化率共同决定的。

4.4.2 洛仑兹规范与达朗贝尔方程

为了唯一确定电磁位和，需要引入一个规范条件。洛仑兹规范是一种常用的选择。

推导过程:

我们的目标是得到关于和的方程

从麦克斯韦方程组出发，考虑安培环路定律的微分形式（包含位移电流）：

其中是传导电流密度。利用本构关系和 (假设介质是线性的、各向同性的)：

代入和：

利用矢量恒等式：

整理可得关于矢量位的方程：

再考虑高斯定律，其中是自由电荷密度。代入和：

整理可得关于标量位的方程：

目前，方程 (1) 和 (2) 中的和是相互耦合的，因为尚未确定，导致解不唯一。

柯西规范 (Coulomb Gauge) 回顾：

在柯西规范中，规定：

这种规范条件在处理静态或准静态问题时特别有用，因为在这类问题中电场磁场没有相互耦合项：

此时标量位满足泊松方程：

矢量位满足类似的方程：

然而，在处理高频或快变电磁场时，柯西规范会导致方程变得复杂，因此在动态问题中更常用洛仑兹规范进行解耦。

引入洛仑兹规范 (Lorenz Gauge): 为了使和 的方程解耦，引入洛仑兹规范条件：

将此规范条件代入方程 (1) 和 (2)：

对于方程 (1)：

对于方程 (2)：

定义波在介质中的传播速度，则上述两个解耦的方程可以写成非齐次波动方程，也称为达朗贝尔方程 (d'Alembert's equations)：

4.4.3 电磁位的积分解

1. 电磁位积分解的得出

静态场情况回顾:

在静态场中，时间导数项为零 ()，达朗贝尔方程退化为泊松方程 (Poisson's equations)：

对于位于坐标原点的元电荷产生的元电势为：

动态电磁场分析:

考虑标量位的达朗贝尔方程：

假设场源（元电荷）位于坐标原点，且场分布具有球对称性，即。在无源空间 ()，方程变为：

在球坐标系下，对于球对称函数，拉普拉斯算子。因此，波动方程可以改写为：

或者，更常见的形式是：

这是一个标准的一维波动方程，其通解为：

因此，

其中 代表向外传播的波， 代表向内汇聚的波。在实际物理问题中，通常只考虑向外传播的波（除非有边界反射）。参考静电场中点电荷电势的解，我们可以类推得到由元电荷在时刻产生的元电势：

🌻

静电场中认为电磁场是瞬间建立的；动态电磁场中需要考虑时间的因素，而电位的形式又与静电场中保持一致

推广到一般情况 (滞后位):

如果源电荷不在原点，而是在处，场点为，则距离为。那么在场点于时刻 t 的标量电势是由源点在较早时刻的状态决定的：

对整个源区积分，得到总的标量电势：

同理，矢量磁位的积分解为：

这些解表明，空间各点在时刻 t 的动态标量位和动态矢量位，取决于源在较早时刻 () 的状态。这种效应称为滞后效应，因此和也被称为滞后位 (Retarded Potentials)。

2. 动态电磁场特征的描述

通解的物理意义：

场的波动性:

项描述了一个以速度 v 沿着 r 增加的方向传播的波（电磁波）。等相位面满足。对时间求导：

这表明电磁作用是以有限速度 v 传播的。在真空中， (光速)。

场的推迟作用 (Retardation Effect):

的物理意义是，在时刻波源的作用，需要经过 的时间延迟后，才能到达距离波源为 r 的场点。换句话说，场点在 t 时刻的响应是由源在 () 时刻的激励产生的。这就是电磁波的滞后效应。项描述了一个以速度 v 沿着 r 减小的方向传播的波。在无界空间中，通常不存在这种汇聚的波，但在有界空间中，它可以代表反射波。

3. 时谐场的非齐次波动方程与电磁位积分解

上面只是给出了一般情况下解的形式。在特殊的时谐场下，我们将给出电磁位的积分解

时谐场的波动方程:

动态电磁场的非齐次波动方程为：

对于时谐场，场量可以表示为，其中是复振幅。时间导数替换为

对于时谐场，其复数形式为：

定义波数 (单位: rad/m)，表示单位长度上的相位变化

方程变为亥姆霍兹方程 (Helmholtz equations)：

时谐电磁位的积分解:

在动态电磁场中，电磁位的积分解包含时间延迟项。对于时谐场，这个时间延迟对应于一个相位滞后

时间延迟： 相位滞后：

因此，滞后位和的复振幅形式为：

标紫色的部分即表示因为时间延迟导致的相位落后

等相位点的传播:

等相位面满足。对时间求导：

波长，所以。是波数，表示单位长度上的相位变化，也称为相位系数。

讨论：什么条件下源点到场点的时间延迟效应可以忽略不计？

时间延迟效应由因子体现。如果，则。由于，该条件等价于：

或者粗略地说，源点到场点的距离远小于激励源信号的波长 ()。在这种条件下，电磁位的解形式与恒定磁场、静电场的解类似，这种场被称为似稳场 (Quasi-static field)。或称为似稳条件。