1. 系统与问题描述 (System and Problem Description)
给定一个非线性系统，其动态特性由以下微分方程描述：
- 系统方程:
- 其中 是系统状态， 是控制输入。
- 问题: 系统中的参数 是未知的。
- 假设: 参数 是一个常数，即其导数 。
目标: 设计一个自适应控制器，使得系统状态 能够跟踪期望的轨迹 ，即使在参数 未知的情况下。
2. 自适应控制器设计 (Adaptive Controller Design)
为了设计自适应控制器，我们遵循以下步骤：定义跟踪误差、参数估计误差，然后利用李雅普诺夫稳定性理论来推导控制律和参数自适应律。
2.1 误差定义 (Error Definition)
- 跟踪误差 (): 定义为期望轨迹 与实际系统状态 之间的差：
- 误差动态: 对跟踪误差求时间导数：
将系统方程 代入：
整理得到误差动态方程：
2.2 参数估计误差 (Parameter Estimation Error)
由于参数 未知，我们引入其估计值 。
- 参数估计 (): 是对未知参数 的在线估计。
- 估计误差 (): 定义为真实参数 与其估计值 之间的差：
- 估计误差动态: 对参数估计误差求时间导数：
由于假设 为常数 ()，则：
2.3 李雅普诺夫函数及控制器推导 (Lyapunov Function and Controller Derivation)
我们采用李雅普诺夫直接法来设计控制律 和自适应律 。
- 李雅普诺夫函数候选 (): 选择如下的李雅普诺夫函数候选者，它同时考虑了跟踪误差 和参数估计误差 ：
这是一个正定函数，当且仅当 且 时 。
- 李雅普诺夫函数的时间导数 (): 对 求时间导数：
将 和 代入：
用 替换 ：
整理各项，得到：
- 控制律设计 (): 为了使 具有负定或半负定的形式，我们设计控制律 。选取 使得 中的第一项 变为一个与 相关的项。令：
解出 ：
其中 是一个用户选择的设计常数（反馈增益）。当 时，这一项有助于稳定跟踪误差。
- 自适应律设计 (): 将设计的控制律 代入 的表达式中，第一项变为 ：
为了消除或简化包含参数估计误差 的第二项，我们设计自适应律 。选取 使得括号内的项 为零：
解出 ：
注意: 自适应律的形式取决于李雅普诺夫函数中参数误差项的定义。对于此处给定的 (相当于参数误差项的加权因子 )，推导出的自适应律为 。如果李雅普诺夫函数定义为 ，则对应的自适应律通常为 以实现对消。
2.4 稳定性分析 (Stability Analysis)
将设计的控制律 和自适应律 代入 的表达式中：
- 李雅普诺夫函数导数结果:
- 结论:
- 由于 且 ，因此 。
- 如果选取设计常数 ，则 是关于 、 半负定的。
- 这保证了两者的李雅普诺夫稳定性
- 为了证明跟踪误差 收敛到零 (即 当 )，可以应用芭芭拉引理 (Barbalat's Lemma)。
- 从 可知 。如果 ，则 (平方可积)。
- 如果能够证明 是有界的 (这通常要求期望轨迹 及其导数 是有界的，并且系统状态 保持有界)，则 是一致连续的。
- 在这些条件下 ( 且 )，根据芭芭拉引理，可以得出 当 。这意味着系统状态 将渐近跟踪期望轨迹 。
- 参数收敛性:
- 该自适应控制器设计保证了跟踪误差 渐近收敛到零。
- 然而，参数估计误差 不一定收敛到零。这意味着参数估计值 会收敛到一个常数值，但这个值不一定是参数的真实值 。
- 要使参数估计误差 收敛到零（即 ），通常需要满足持续激励 (Persistent Excitation, PE) 条件。在此系统中，这意味着信号 需要足够"丰富"，以提供足够的信息来唯一确定参数 。
