2.9.1 带电体系统中的静电场能量
1.用源量表示的静电能量
考虑带电体系统中电荷的逐个引入过程：
- 引入第一个电荷q₁时，由于无其他电荷，不需要做功：
- 引入第二个电荷q₂时，需要克服q₁产生的电场力做功：
- 引入第三个电荷q₃时，需要克服q₁和q₂产生的电场力做功：
推广到引入第i个电荷时，需要克服前i-1个电荷产生的电场力做功：
系统的总静电场能量为将所有电荷带入时做功的总和：
考虑到两个电荷间的相互作用是对称的，即：
因此最终可以将系统的静电场能量表示为：
推广到面分布的带电导体：
由于表面电荷分布是连续的，我们需要将离散的求和转化为积分形式。
设带电体表面的面电荷密度为σ，则电荷元，其中dS为表面积元。系统的静电场能量可表示为：
由于导体表面是等势体，电位φ在导体表面处处相等，因此可以将φ提到积分号外：
注意到积分号内的积分实际上就是导体的总电荷Q：
因此带电导体的静电场能量可以简化为：
这个简单的表达式在实际应用中非常有用，因为我们只需要知道导体的总电荷和电位就可以计算其静电场能量。
推广到体分布的电荷
对于体分布的电荷，电荷分布在带电体的体积内部。设带电体内部的体电荷密度为，则电荷元为，其中为体积元。
2. 用场量表示静电能量
静电场能量也可以用场强E和电位移矢量D来表示。在空间中任一点，电场强度E和电位移矢量D之间存在关系：
考虑空间中的体积元dV，其中的静电场能量可以表示为：
因此，整个空间的静电场能量可以通过对所有体积元的积分得到：
将上式中积分号内的量称为电场能量密度w：
电场能量密度表示单位体积中所储存的静电场能量。它与电场强度E的平方成正比，这说明电场越强，单位体积中储存的能量就越多。
因此静电场能量可以表示为能量密度在整个空间的积分：
例题
