1. 龙伯格观测器基本原理
1.1 什么是状态观测器？
在许多控制系统中，我们需要知道系统的内部状态才能设计出有效的控制器。然而，在实际应用中，并非所有的状态变量都能够直接测量得到，原因可能是：
- 缺少合适的传感器
- 测量成本过高
- 测量点无法访问
状态观测器 (State Observer) 是一种利用系统已知的输入和可测量的输出，来估计系统内部不可测状态的动态系统。龙伯格观测器是最常用的一种状态观测器。
1.2 龙伯格观测器结构
假设一个线性时不变 (LTI) 系统可以用以下状态空间方程描述：
系统动态方程:
输出方程:
其中：
- 是状态向量
- 是输入向量
- 是输出向量
- 是系统矩阵
- 是输入矩阵
- 是输出矩阵
- 是前馈矩阵 (在很多情况下 )
龙伯格观测器的结构如下：
其中：
- 是估计的状态向量
- 是估计的输出向量
- 是观测器增益矩阵，也称为龙伯格增益矩阵。
观测器的核心思想是：模拟原始系统的动态 ()，并通过一个校正项 来修正估计状态。校正项基于实际输出 和估计输出 之间的差异。
1.3 观测器误差动态
定义状态估计误差为：
我们希望这个误差随着时间的推移趋近于零，即
误差的导数为：
代入系统方程和观测器方程（假设 以简化推导，对于 的情况，结论相似）：
这是一个齐次线性微分方程。如果矩阵 的所有特征值都具有负实部（即 是稳定的/Hurwitz 矩阵），则估计误差 将渐近收敛到零。这意味着估计状态 将收敛到实际状态 。
2. 龙伯格观测器设计
设计龙伯格观测器的关键在于选择合适的观测器增益矩阵 ，使得误差动态系统 具有期望的动态特性（通常是比原系统更快的收敛速度）。
建立一个新的反馈系统使得观测误差趋近于0
