终值定理和稳态误差

拉普拉斯变换终值定理是控制理论中的一个重要定理，它用于分析系统在时间趋于无穷大时的稳态行为。

定理表述

如果函数及其导数的拉普拉斯变换都存在，且在复平面右半部分除外没有极点，并且处最多为简单极点，则：

其中是的拉普拉斯变换。

终值定理在控制系统分析中特别有用，尤其是在确定系统的稳态误差时。

对于参考值为，输出为的系统，稳态误差定义为：

本笔记将通过一个具体的例子，演示如何应用拉普拉斯变换的终值定理来计算一个闭环控制系统的稳态误差。

我们分析的系统是一个带比例控制器的一阶系统，构成一个典型的单位负反馈结构。

根据上图的负反馈结构，我们可以列出输出的表达式：

其中：

为了求解输出，我们对上式进行代数运算：

最终得到系统的闭环输出表达式：

为了计算稳态误差，我们假设系统输入为一个阶跃信号，即参考值从0突变为一个常数并保持不变。

其拉普拉斯变换为：

根据拉普拉斯变换的终值定理，我们可以计算输出信号的稳态值（即时的值）：

将和的表达式代入：

消去并求解极限：

得到系统的稳态输出为：

稳态误差 定义为期望值与实际输出稳态值之差：

由于输入是常数，所以。

最终得到稳态误差的表达式：

从稳态误差的最终表达式可以看出：

这个结论符合控制理论的直觉：提高比例增益可以更有效地减小系统在阶跃输入下的稳态误差。