在上一个例题基础上，对引入积分控制来消除稳态误差的推导。
4. 引入积分控制消除稳态误差
我们在上一个例子中发现，单纯的比例控制（P控制）在阶跃输入下会存在一个无法消除的稳态误差。为了消除这个稳态误差，我们需要设计一个新的控制器。
4.1 控制器设计思路
我们将原来的比例控制器 替换为一个新的控制器，其传递函数为 。此时系统的闭环输出为：
我们的设计目标是让稳态误差为零，即系统最终的输出值等于输入值：
再次应用终值定理：
将 的表达式代入，并设输入为阶跃信号 ：
要使上式成立，必须满足：
这个条件意味着当 时， 的值必须趋向于无穷大。
在拉普拉斯变换中，要使一个传递函数在 时趋于无穷，最简单的方法是包含一个 的因子。这个因子在时域上正对应着积分环节。
4.2 积分（I）控制器的引入
我们采用一个纯积分控制器来满足上述要求：
其中 是积分增益。
结论：通过引入积分环节，成功消除了系统的稳态误差。
4.3 新系统的动态响应
虽然我们消除了稳态误差，但控制器的改变也影响了系统的动态过程。我们可以通过求系统的微分方程来分析其动态特性。
我们从 的表达式出发：
代入 :
对等式两边同时进行拉普拉斯反变换 :
利用拉氏变换的微分性质和基本变换对，我们得到系统的微分方程：
这表明，原来的一阶系统在加入积分控制器后，变成了一个二阶系统。它的响应变成了典型的二阶系统阶跃响应，其动态特性（如超调量、振荡频率、调节时间等）将由参数 和 共同决定
